Irrationnalité?

Question

Vous connaissez sans doute comment montrer que "racine carrée de 2" notons r2 est irrationnel...
Supposons que r2 est rationnel
r2=a/b avec et b des entiers
éq à 2.b²=a²
Ce qui montre que a est pair...


Puis comment fallait-il montrer que b aussi l'est pour conclure par ce raisonnement par l'absurde que r2 est irrationnel?

Answer 1

Il faut tout d'abord supposer que ton écriture r2=a/b est une fraction irréductible.
Ensuite comme tu l'as dit, a²=2b² donc a² pair donc a pair.
a s'écrit donc sous la forme a=2c, d'où en réinjectant dans la relation précédente, on obtient 4c²=2b², ie b²=2c², donc b² est pair, d'où b est pair, ce qui conteste le fait que ta fraction soit irréductible.

CQFD !!

Answer 2

attention, si a2 est pair, je ne vois pas pourquoi a le serait : exemple si a2= 10!???

Answer 3

Attention si a/b irréductible on peut avoir a et b impaire comme 3/5

Answer 4

Dans ton raisonnement au lieu de dire "avec a/b entiers" tu devrais dire "avec a/b entiers et a/b irréductible".Dans ce cas comme a est pair,b est impair,ce qui est absurde car b²=a²/2 qui est un nombre entier pair.

Answer 5

On suppose r2 =p/q avec p et q entiers premiers entre eux.

Dans ce cas on peut écrire r2 sous forme de fraction irréductible, c'est-à-dire que p et q n'ont pas de facteur premier commun. Il en est donc de même pour p² et q², ce qui signifie que p²/q² est une fraction sous sa forme irréductible. Une telle forme étant unique, l'égalité p²/q²=2 entraîne p² = 2 et q² = 1. La première de ces deux égalités est impossible pour p entier ; on a donc abouti à une contradiction.

Il en résulte que r2 ne peut pas s'écrire avec p et q entiers premiers entre eux, c'est-à-dire que r2 est irrationnel.