Mathématiques/ Fonction un peu spéciale: où est-elle continue ?

Question

f est définie sur ]0; 1[ par f(x) = 0 si x est irrationnel. Par contre si x = p/q écriture irréductible), f(x) = 1/q
Question supplémentaire: où est-elle dérivable?

Pour EVARISTE Je ne suis pas tout à fait d'accord. De plus tu ne précises pas où elle est continue (début de la question)

pour DEMOCRATIE je ne suis pas taupin et ce n'est pas un devoir,mais une recherche personnelle

Pour Jean-Pier L c'est mon seul sujet CE SOIR !

Answer 1

Effectivement mon précédent raisonnement était faux, désolé...
Comme R\Q est dense dans R, la fonction est bien discontinue en tout point de Q, mais par contre elle est continue en tout point de R\Q.

Preuve : si n est un entier naturel, le nombre de rationnels dans ]0,1[ et de dénominateur inférieur à n est fini, donc si x est un irrationnel, pour tout n, il existe un voisinage de x tel que pour tout y de ce voisinage, f(y)<1/n, on reconnaît la la définition de la limite : f(y) tend vers 0 lorsque y tend vers x. Donc la fonction est continue en tout irrationnel.

Il fallait bien que je fasse mon mea culpa...

Answer 2

Reprend ton cours sur les derivées et tu liras que pour qu'une fonction soit dérivable il faut qu'elle soit continue sur un espace epsilon aussi petit que l'on veut tout autour de l'endroit ou tu veux dériver.
Donc ici, tu sais que quelque soient x et y des nombres rationnels qui se suivent (x>y)il existera toujours un z rationnel tel que
x>z>y. par exemple tu poses z=(x+y)/2. donc la fonction est strictement discontinue donc n'admet pas de Dérivée.
Et je pense meme qu'il n'y a meme pas de dérivée faible a ta fonction.

Answer 3

Je confirme ce qui a été déjà dit, mais également contredit, à savoir que cette fonction est continue aux points irrationnels et discontinue aux points rationnels. La question de la dérivation n'a aucun sens pour une fonction de ce type.

Answer 4

Q est dense dans R, mais de mesure nulle.
On démontre facilement avec les (non)convergences de suites que chaque rationnel est encadre par une infinite d'irrationnels, et inversement. Comme il n'existe pas de segment de mesure aussi petite qu'elle soit, sur laquelle on n'ait pas une infinité d'irrationnels entrecoupés d'une infinité de rationnels, ta fonction est nécessairement continue nulle part.

De plus, meme en restreignant ta fonction a l'ensemble des rationnels, elle ne serait continue nulle part, car le q de tes p/q prend une infinite de valeurs dans n'importe quel intervalle, si petit soit-il.

Answer 5

Selon la définition de la dérivation, cette fonction n'est dérivable nulle part, puisqu'elle n'y est pas continue (mémoire de cours de taupe). La démonstration existe: elle consiste à démontrer qu'entre 2 irrationnels aussi rapprochés que possbile, il existe toujours un rationnel, ce qui fait que cette fonction est discontinue en tout point de l'intervalle.

Evariste est dans le vrai, ainsi que la plupart des réponses ici qui vont dans ce sens. Si tu ne veux pas croire ceux qui te disent cela on ne peut rien pour toi: Cette fonction n'est continue nulle part ! et quand on dit nulle part, C nulle part. y'a pas d'intervalle sur lequel elle est continue à préciser.

Answer 6

Elle n'est dérivable nulle part, mais je suis désolé de vous annoncée qu'elle est continue en tout point irrationnel (c'est d'ailleurs un exo de maths sup trés classique). Cette fonction est parfois appellée fonction de Dirichlet.

Answer 7

Ta fonction n'est dérivable en aucun point de ]0; 1[

Answer 8

un seul sujet de conversation: tu ne t'ennuies pas?

Answer 9

Clairement continue nulle part (entre 2 rationnels on peut fabriquer un irrationnel, et vice-versa). Sa dérivabilité est alors sans objet.

Answer 10

ca parait qu elle n est pas continue
parceque 1/q est une fonction strictement decroissante et elle n est jamais egal a 0