Cual es el punto de inflexion y concavidad hacia arriba y hacia abajo de cos 3x?

Question

Si x pertenece a -30º , 90 º
Ok al sacar primera derivada tengo sen 3x y segunda derivada - cos3x los angulos es lo que me confunde pues Libro de Leithold me da en Kpi debo graficar porfavor denme procedimiento y grados normales como los puse

c reo el amigo no entendio bien pues no es coseno de x al cubo que si daria eso pero es el coseno del angulo triple 3X de estar yo equivocado espero me diga por que da 3 sen3x la primera derivada

a mi a,miga sylvia le mande un correo con mis dudas

Answer 1

La primera derivada de cos3x es -3sen3x !!!

La segunda derivada por lo tanto nos daria

9cos3x

el punto de inflexion es ellugar en el cual la grafica cambia de sentido

en este caso, la grafica del coseno tedria dos puntos de inflexion y es concava hacia arriba y tambien hacia abajo

Answer 2

y = cos 3x

Con x perteneciente al intervalo -30°,90° te está acotando el dominio a los ángulos en grados sexagesimales entre esos valores.

Como te pide puntos de inflexión vamos directamente a averiguar estos, para lo cual hay que hallar la 2da derivada:

y ' = (-sen 3x) 3
y '' = (-cos 3x) 3 3 = - 9 cos 3x

se tienen puntos de inflexión cuando y '' = 0

3x = ¶/2+k¶ donde k = cualquier entero (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)

pero lo puse así para mostrar una comparación con lo que citaste del libro de Leithold, pero en grados será:

3x = 90° + k 180°, k=entero

es decir=> x = 30° + k 60°

Y además existe otra restricción: -30° =< x =< 90° (por enunciado, la definición del dominio)

si k= -1 => x = 30° - 60° = -30°
si k = 0 => x = 30°
si k = 1 => x = 30° + 60° = 90°
otros valores de k darán x fuera del dominio.

Sólo falta analizar la concavidad:
en x2= 30° la primera derivada es: y ' = -3 sen 90° = -3
en x1= -30° => y ' = -3 sen (-90°) = 3
en x3 = 90° => y ' = -3 sen 270° = 3
(x1, x2, x3 => son los x con subíndices donde se dan los puntos de inflexión calculados)

Esto indica que entre x1= -30° y x2=30° la curva es cóncava hacia abajo, y que entre x2=30° y x3=90° es cóncava hacia arriba.

La forma de la curva es una sinusoide comprimida (porque el ciclo es tal que su período es 120°) que arranca en cero en x= -30°, crece positivamente hasta x=0°, decrece y cumple un semiciclo en x= 30° y completa el semiciclo negativo en 90° pasando por un mínimo en x=60°. No pediste máximos y mínimos rlativos, pero salen de igualar a cero la primera derivada, y evaluar la segunda derivada en los puntos así determinados. Para un máximo relativo la 2da derivada es negativa, y para un mínimo relativo la segunda derivada es positiva.


Saludos.

Answer 3

Tenemos que la primer derivada igualada a cero, te da los valores de x donde la función presenta un maximo o minimo relativo, o un punto donde la curva presenta un cambio de concavidad. Si a los lados de este punto, la curva adopta valores positivos o negativos simultáneamente, entonces hay un minimo o un maximo. Ahora si de un lado es positiva y del otro negativa, ahí tienes un punto de inflexión. Halla la 1º derivada y igualala a cero, luego despeja x. Da valores a la izquierda y derecha de dicho punto.

Answer 4

mira para este tipo de problemas para que tengas algun tipo de idea existe un porgrama que se llama winplot ese te deriva y te integra y todo lo ves graficamente

Answer 5

Metete en algún graficador, yo uso Derive6. Hay un trial por 30 días y después si te gusta podés comprarlo.
El programa te permite calcular derivadas, integrales, límites, etc.

Answer 6

f(x) = cos 3x

f'(x) = -3 sen 3x = 0-------> 3x = k. pi -> x = k. pi/3 ------->
x = 60º x = 0º

f'' (x) = -9 cos 3x = 0 ------> 3x = pi/2 + k pi --->x = pi/6 + k.pi/3

x = 30º x = - 30º

f'' (60º) = - 9 cos 180º = -9 (-1) 9 > 0 mínimo
f''(0) = -9 cos 0 = -9 < 0 máximo

Intervalo de convexidad (-30º, 30º )
Intervalo de concavidad (30º, 90)