démontrer par recurrence que : qqsoit n € N, cos(nx)=(-1) à la puissance n?

Answer 1

Je suppose que x est pi.Donc dans la suite,x désigne le nombre pi (sinon ta propriété est fausse)
La propriété est vraie pour n=0 cos(0)=(-1)^0=1
Si on suppose la propriété vraie pour n,alors
cos[(n+1) x] = cos (nx+x)=-cos(nx)=(-1)^(n+1) d'après l'hypothèse de récurrence.
rappel:cos(a+pi)=-cos(a)

Answer 2

Puisqu'il faut le démontrer par récurrence je suppose qu'il manque quelque chose dans ton énoncé je verrai bien x=PI
a toi de préciser pour moi c'est evident mais on peut le démontrer par recurrence

Soit P(n) la propriété

Pour n=0 cos(0)=1=(-1)^0 par définition de ^0
Pour n+1 sachant n P(n)=>P(n+1)?

cos((n+1)x)=cos(nx+x)
=cos(nx)cosx-sin(nx)sinx
=cos(nx)*-1-0=-1 * (-1)^n
=(-1)^(n+1)

donc vrai au rang n+1=> vrai quelque soit n

Answer 3

Formule fausse.

Answer 4

C'est cos (n x pi) et pas cos (nx)
Vrai pour n=0 (car cos o = (-1) puissance 0 = 1)
Si vrai pour n, alors
cos ((n+1) x pi) = cos (n x pi + pi) puis appliquer la formule de "cos (a + b)" avec a = n x pi et b = pi pour trouver cos (n x pi) x (-1) = (-1) puissance n x (-1) c'est à dire (-1) puissance (n+1), ce qui démontre que si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n+1. Comme en plus c'est vrai pour 0, on a démontré par récurrece que c'est vrai pour tout entier naturel.