Determinar las constantes a,b,c, tales que la curva y= ax*2+bx+c sea tangente a la recta y= 5x-3?

Question

Determinar las constantes a,b,c, tales que la curva y= ax*2+bx+c sea tangente a la recta L: y= 5x-3 en el punto P1 (2, 7) y ademas pase por el punto P2 (-1, 10)
...ayuda por favor , aun no me da el resultado...

Answer 1

RESPUESTA:

a=2, b=-3, c=5

RAZONAMIENTO:

La parábola

y = ax^2+bx+c.................(1)

debe pasar por los puntos (2,7) y (-1,10). Esto da lugar a las dos ecuaciones lineales:

4a + 2b + c = 7
a - b + c = 10

De esas dos ecuaciones puedes expresar a y b en términos de c, quedando (verifícalo echando c al lado derecho):

a = (9 - c) / 2 ............................(2)
b = (-11 + c) / 2 ........................(3)

Al sustituir en (1) y multiplicar por 2, obtienes:

2y = (9-c) x^2 + (-11+c) x + 2c .............. (4)

Por otro lado, quieres que la parábola toque a la recta

y = 5x - 3 .............................................. (5)

Combinando las expresiones (4) y (5) obtienes:

2 (5x - 3) = (9-c) x^2 + (-11+c) x + 2c

que te lleva a la ecuación:

(9-c) x^2 + (-21+c) x + 2c+6 = 0

Esta ecuación te da por solución los valores de x en donde la parábola y la recta se cortan, pero tú quieres que sean tangentes, es decir, que esta ecuación sólo tenga una solución. Para lograrlo, la condición necesaria es que el discriminante B^2-4AC sea cero, en donde

A = 9-c
B = -21+c
C = 2c+6

Aplicando la condicón de anular el discriminante obtienes:

(9-c)^2 - 4 (-21+c)(2c+6) = 0

lo que te lleva a la ecuación:

c^2 -10c + 25 = 0

que en forma factorizada es

(c-5)^2 = 0

por lo que resulta

c = 5

Sustituyendo este valor en las expresiones (2) y (3), llegas a concluir que

a = 2
b = -3

Saludos.

NOTA: Te dejé algunos detalles para que los abordes tú mismo. Te he dado un enfoque de Geometría Analítica, pues supongo (no lo dices) que no has llevado un curso de cálculo y por ello no debes usar la derivada.

Answer 2

Bueno,en x=2,la derivada de la parabola debe ser 5, y la parabola debe pasar por (2,7) y por (-1,10).Esto es 2a.2+b=5,
4a+2b+c=5 y a-b+c=10.Despejando b=5-4a
4a+10-8a+c=5,por lo que c=-5+4a y reemplazando en la ultima ecuacion:a+5-4a-5+4a=10.
a=10,b=-35 c=35

Answer 3

Bien, primero, si hablamos de tangente a la curva tenemos que derivar...

asi que y´=2ax + b

si queremos que la recta sea tg, entonces debe ser paralela a y', con lo cual las pendientes deben ser iguales:

2a=5
a=2,5

ahora nos pide que pase por 2 puntos (2,7) y (-1,10)

si reemplazamos en la curva quedan estas dos ecuaciones :

1) 7=2,5(2)^2 + 2b + c
2) 10=2,5(-1)^2 - b + c

asi que simplificando y despejando queda :

1) -3 = 2b + c
2) 7,5 = -b + c ---------> (despejo c) 7,5 + b = c (reemplazo en 1))

-3 = 2b + 7,5 + b
-10.5 = 3b
-3.5 =b

ahora reemplazo el valor de b en cualquiera, por ejemplo en 2)

7,5 = -(-3.5) + c
7.5 = 3.5 + c
c=4

asi que la curva quedaria :

y = 2.5x^2 - 3.5x + 4

si no me crees hace las cuentas!!

Suerte!!
K-rLa!

Answer 4

7 = 4 a +2b + c
10 = a - b + c -------------> c = 10-a+b

7 = 4a +2b +10-a+b
7 - 10 = 3a + 3b
-3 = 3 (a + b)

a + b = -1 --------> b = -a -1

c = 10 - a -a-1 ---------> c = 9 - 2a

y = a x^2 - (a+1) x + 9 -2a

y = 5x - 3

a x^2 - (a+1) x + 9 -2a = 5x - 3

a x^2 - (a + 6) x + 12 - 2a = 0

Para que sean tangentes esta ecuación debe tener solución única, para ello b^2 - 2 . a . c = 0

(a+ 6 )^2 - 4 . a .(12 - 2a) = 0

a^2 + 12 a + 36 -48 a + 8 a^2 = 0

9 a^2 - 36 a + 36 = 0

9 ( a^2 - 4a + 4) = 0

(a - 2)^2 = 0

a = 2, b= -3 ; c = 5

Answer 5

Los valores son:
a= 2
b= -3
c= 5
Recordá que la derivada de ax^2+bx+c en el punto (2,7) tiene q ser igual a la pte de la recta. Por tanto 2ax+b=5, de ahi y con el otro punto despejas los demás valores.
a=(5-b)/4
10=a-b+c
7=4a+2b+c
De ahí:
10= (5-b)/4 - b +c
7=4 (5-b)/4 +2b +c
----------------------------r mam
3 = ((5-b)/4) - (5-b)) - 3b
3= -3/4 (5-b) -3b
3= -15/4 +3/4 b -3b
3+15/4= -9/4 b
-3= b
a=(5+3)/4 = 2
c= 10 - 2 -3= 5

Espero te sirva. Saludos

Answer 6

la pendiente de la parábola en cualquier punto es su derivada:
dy/dx=2ax+b
En el punto (2,7) la pendiente es, sustituyendo:
m=4a+b
Pero la pendiente de la recta es:
5 (se entiende, verdad?)
Luego, la pendiente de una recta perpendicular a otra es
m´=-1/m
Entonces:
-1/4a+b = 5
Por lo que, b= 5+(a/4)...............(0)
Sustituyendo el punto (-1,10) en la parábola:
10=-a+b+c
por tanto:
10 = -a + 5+(a/4) + c
a = 5-c / (-3/4)............(1)
Sustituyendo el otro punto (2,7)
2= 4a + 7b + c .................(2)

Resuelve el sistema de ecuaciones (0 con 1 con 2) y te dará la solución.