Comment démontrer que le cercle INSCRIT à un triangle a un périmètre inférieur à celui du triangle ?

Question

Pour Fred L. Si l'affirmation
"le cercle est la forme géométrique qui, pour une aire donnée, a le plus petit périmètre"
est vraie, alors ta démonstration est bonne
Si on essayait de la démontrer...

Answer 1

Avec les équations classiques :

S=p.r

où S est la surface du triangle, p le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit.

S>pi.r² (évident...)

Donc : p.r>pi.r²

p>pi.r

donc périmètre>2.pi.r

Et voilà !

Answer 2

Eh bien apres mures reflexions, j'en sis arrivé à une demonstration pas du tout mathématique...
Par définition, le cercle est la forme géométrique qui, pour une aire donnée, a le plus petit périmètre.
Comme le cercle est inscrit au triangle, le triangle a forcement une aire supérieure à celle du cercle.
Et donc, il a un périmètre également supérieur à celui du cercle.

Je suis preneur si quelqu'un a mieux.

Answer 3

Pour l'instant, j'ai traité le cas simple du triangle équilatéral.
Pour les autres, je réfléchis....

Je pense en fait qu'étant donné un cercle, dans la famille des triangles dont il est le cercle inscrit, le triangle équilatéral est de périmètre minimal. Mais c'est peut être faux et si c'est juste, ce n'est pas forcément plus facile à démontrer.

Sinon on peut peut être utiliser les relations trigonométriques dans un triangle quelconque du genre a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)
où les petites lettres désignent les longueurs des cotés et les grandes les angles opposés à ces cotés.

Enfin, tout ça me parait bien compliqué...

Emmanuel,
Pourquoi S=pr ?

OK j'ai trouvé, il suffit de décomposer le triangle en triangles dont es hauteurs sont les rayons.

Bravo Emmanuel.

Answer 4

le rayon du cercle vaut

R=2S/(a+b+c)=2S/p

S surface du triangle
p perimetre du triangle

aprés a toi de jouer

Answer 5

pi r² > a+b+c ( cotés du triangle )

calcule ça, et voilà c'est démontré

Answer 6

Ben s'il est dedans, faut bien qu'il soit plus petit, pcq sinon, il rentre pas dedans.
CQFD.