¿como me doy cuenta que (e elevada a la x ) / x, no tiene asintota oblicua?

Answer 1

Para "x" tendiendo a "- infinito" queda claro que el denominador de la función: f (x) = (e^x) / x
tiende a "cero" mientras que su denominador tiende a "-infinito".
Se concluye que su cociente tiende a "cero" con valores negativos cada vez más pequeños, por lo que su asíntota es el eje "x"
________
Para analizar lo que ocurre cuando "x" tiende a "+ infinito" debemos apelar al desarrollo de Taylor de la función exponencial. Éste es:
e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + (x^4)/24 + .....

Entonces f(x) quedará como:
f (x) = (1/x) + 1 + x/2 + x²/6 + x³/24 + .....

Para "x" tendiendo a "+ infinito":
(1/x): tiende a "cero"
1: es una constante
x/2: es una recta

x²/6 + x³/24 + ..... constituye un polinomio que no tiene asíntota.

Se concluye que la función no tiene asíntota cuando "x" tiende a "+ infinito".
...

Answer 2

RESPUESTA:

Te das cuenta porque la derivada de la función e^x / x no se estabiliza en un valor finito distinto de cero, ni por derecha, ni por izquierda.

RAZONAMIENTO:

Una función f(x) tiene como asíntota una recta oblicua (con pendiente finita m distinta de cero) si y solo si su derivada f'(x) tiende a m cuando x tiende a infinito o a menos infinito.

Si f(x) = e^x / x, su derivada es

f'(x) = (x-1) e^x / x^2

pero es un hecho que un cociente de la forma

e^x / x^n

tiende a infinito cuando x tiende a infinito, independientemente del tamaño de n (es decir, que el crecimiento exponencial es siempre mayor que el crecimiento polinomial, de cualquier grado), por lo tanto

f'(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito............(A)

Por otro lado, para anlizar lo que ocurre cuando x tiende a menos infinito, conviene escribir

f'(x) = e^x / x - e^x / x^2

y es un hecho que los cocientes

e^x / x^n

tienden a cero cuando x tiende a menos infinito, para cualquier entero n, por lo tanto

f'(x) tiende a cero cuando x tiende a menos infinito.......(B)

El comportamiento de f'(x) dado por (A) y (B) hace ver que f(x), por la izquierda, tiene una asíntota horizontal, que es el eje X y por la derecha no tiene asíntota oblicua, pues f' no se estabiliza.

Answer 3

En cuanto a asintota oblicua a izaquierda es facil:e elevada a la x tiende a 0 cuando x tiende a -infinito,entonces (e a la x)/x tiende a 0,asi que tiene una asintota horizontal :y=0
Para x tendiendo a +infinito,tengo una indeterminacion del tipo infinito sobre infinito,que sale por regla de Lhospital:
lim((e a la x)/x cuadrado)=lim((e a la x)/2x )=lim((e a la x)/2 =+infinito