Derivada de X^x?

Question

Como se demuestra que la derivada de X^(x) es (x^x) (ln x + 1) ??
Solo pude hacer el primer paso:

x^x = ln e^ (x^x), pero no entiendo por qué no se puede hacer x ln e^x y derivar eso. Al derivarlo me queda solo (ln x + 1), de donde sale el x^x??

Answer 1

y = x^x

ln y = x . ln x

Derivo ambos miembros

1/y * y' = x . 1/x + 1 * 1/x = 1 + 1/x Paso y multiplicando

y' = y * (1+1/x)

y' = x^x . (1+1/x)

Answer 2

No lo puedes hacer porque estás cometiendo un grave error teórico. Tu pones: x^x = ln e^ (x^x), pero ésto no es cierto.
Lo cierto es:
x^x = e^[ln (x^x)] = e^(x ln x)
______
Aclarado este punto, te indico que para resolver esta derivada debes aplicar 2 conceptos teóricos:

1º) Si f(x) = e^x entonces: f ' (x) = e^x (la derivada de la exponencial es la propia exponencial).

2º) La regla de derivación para composición de funciones (también llamada regla de la cadena), es:
Sea Q(x) = P[g(x)]. Entonces Q'(x) se calcula como:
Q'(x) = P'[g(x)] g'(x)
______
Para nuestro caso:
g(x) = x ln x;
P(x) = e^x; y finalmente:
Q(x) = P[g(x)] = e^(x ln x)

Entonces:
Q'(x) = e^(x ln x) * (1 + ln x) = (x^x) * (1 + ln x)
...

Answer 3

Te demostrare para cualquier caso:

- Derivada de u^v en funcion de x:

y = u^v
ln y = v ln u
(d/dx) ln y = (d/dx) (v ln u)
(1/y) y' = (v/u) (du/dx) + (ln u) (dv/dx)

remplazando y = u^v se tiene:

(1/u^v) y' = (v/u) (du/dx) + (ln u) (dv/dx)

y' = v (u^(v-1)) (du/dx) + u^v (ln u) (dv/dx)

Si reemplazamos a "u" y a "v" por x, se tiene:

y' = x (x^(x-1)) (dx/dx) + x^x (ln x) (dx/dx)

y' = (x^x) + x^x (ln x)

finalmente, factorizando se tiene:

y' = (x^x) (ln x + 1)

Answer 4

ya tienes la respuesta...

Answer 5

eso es fisica o algebra, k miedo, cuando me toque estudiar eso no voy a poder