Qui a démontré l'existence du nombre PI ?

Question

Autrement dit, qui a vraiment démontré que le rapport de la longueur d'un cercle sur son diamètre ne dépend pas du cercle?Comme il fallait déjà définir la longueur d'un cercle cette démonstration ne peut pas être d'Archimède n'est-ce pas?

Answer 1

Comme il a dit GB

Answer 2

Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie.

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs connues de π : π = 3 + 1 / 8 (soit 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que π est évalué à (16 / 9)2 (soit 3,160...).

Answer 3

rien à ajouter a GB

Answer 4

archimede sisi

Answer 5

Si, c'est Archimède, qui a repris et formalisé les récettes anciennes citées par GB. Malgré l'abence d'algèbre, de notation symbolique et de décimales, nos ancêtres étaient fort rusés et méticuleux (ne pas oublier qu'Appolonius a tout dit sur les coniques 300 avant JC, et que Pythéas a calculé l'inclinaison de l'axe des poles sur l'écliptique, puis financé une exédition vers le cercle polaire pour tout vérifier, à peine 100 ans plus tard).

Archimède a fait un raisonnement par récurrence sur les polygones. Voici ce raisonnement

-Considérer un cercle de rayon 1/2 (qu'importe l'unité de mesure). Son périmètre est Pi.
-Considérer un polygone régulier de n côtés tangents au cercle (polygone "exinscrit") ; appeller p1 son périmètre (sans le calculer). On se moque de connaître n (récurrence).
-Considérer un polygone régulier de n côtés dont les sommets sont sur le cercle (polygone "inscrit") ; appeller q1 son périmètre (sans le calculer). Il est évident que l'on a q1 -Observer le polygone exinscrit de 2*n côtés, et le polygone inscrit de 2*n côtés. Appeller leurs périmètres p2 et q2
De très simples considérations de triangles semblables conduisent à démontrer deux relations :
2/q2=1/p1+1/q1 : ca donne q2 en fonction des polygones précédents.
p2=racine(p1*q2) : ca donne p2 en fonction des polygones précédents, via q2.
Naturellement q1
Archimède est parti de deux carrés : p1=4 et q1=2*racine(2) . Ca permet dejà de savoir que Pi est entre 2,828 et 4,000, avant le première itération!
En répétant l'opération ne serait-ce que 3 fois, on obtient un excellent Pi. Il faut simplement prévoir dès le départ jusqu'où on ira, pour partir d'un racine(2) suffisamment "poussé" en décimales; sinon la précision sera illusoire.

Ensuite, au lieu du rayon 1/2, Archimède a pris R (p1/R=8, q1/R=4√2), et démontré que tout restait proportionnel, c'est donc bien lui qui a énoncé P=2*Pi*R.

Archimède a fait tout ça malgré la pauvreté des outils de l'époque.
-Pour nous, remplacer p1 par p1/R est évident, et on sait trimballer le facteur R pdans les calculs fomels. Ne disposant pas de l'algèbre, Archimède a fait une démo assez intuitive, du genre de la mathématique chinoise ("on voit bien que..."). Mais il l'a confortée expérimentalement avec des mesures de périmètres de cercles de papier.
-Archimède, qui ne connaissait pas la notation décimale, à calculé pi=3,1416 (je cite de mémoire; je ne sais plus si c'est 3 ou 4 décimales) en transformant tous les calculs intermédiaires en fractions et en calculant les racines sans doute avec une méthode propre qui ne nous est pas parvenue!!!
-Enfin, ne connaissant pas le signe égal, c'est avec des phrases complètes que toutes les démos ont été faites, sans symbolisme .


Observations
--Racine(2) à la base du calcul de Pi, c'est très impressionnant, et les contemporains en furent ébahis! Je ne me lasse pas d'admirer à la fois Archimède et la surprenante unité intérieure des mathématiques.
-Ce fut durant 2000 ans la seule façon de calculer Pi. Avoir 300 décimales supposait de partir avec 5 ou 600 décimales pour Racine(2), et de se farcir toutes les itérations en trimbalant les dites décimales.
-je n'ai trouvé nulle part la figure géométrique qui sert de base au calcul des deux équations récurrentes citées plus haut. Je l'ai reconstituée et je la tiens à la disposition de qui me la demande (j'arrête au 10 ème). Mais si quelqu'un connait un site qui la donne, ce sera mieux.
-Je n'avais encore jamais fait une réponse aussi longue. C'est un hommage indirect à la patience de nos grands ancêtres (et des Q/Ristes).

Answer 6

Non plus !!!