Domini Integrali Doppi?

Question

Ciao!Devo trovare il dominio (normale rispetto a x) di un integrale doppio.Tale dominio è rappresentato da:
una corona circolare formata dalle due circonferenze con centro nell'origine e raggio, rispettivamente, 1 e 2, presa in considerazione solo nell'area delle y positive.
Io avrei risolto in questo modo: -2

Answer 1

hai fatto il ragionamento giusto, ma non hai scritto tutto quello che serve per descrivere il dominio.
la cosa migliore sarebbe scriverlo in coordinate polari dove risulta semplice (1 per scriverlo in coordinate cartesiane devi tenere presente che l'operazione di radice quadrata ha sempre risultato positivo, il dominio che hai scritto tu è solo la parte con y positivo. quindi se tu vuoi prendere in considerazione anche i la parte sotto all'asse delle x devi riscrivere la disequazione per y anche coni - davanti alle radici e i segni cambiati -sqrt(1-x^2)>y>-sqrt(4-x^2)
ciao

Answer 2

Il dominio lo troviamo passo per passo facendo alcune considerazioni.

Devo stare sopra la circonferenza di raggio 1: y >= radq (1 - x^2).
Devo stare sotto la circonferenza di raggio 2: y <= radq (4 - x^2).
E così ho sistemato la corona circolare. Non è chiaro se l'esercizio preveda che nell'insieme sia compresa la frontiera, cioè se io devo anche considerare i bordi delle due circonferenze. Se non devo, allora tolgo gli uguali alle disuguaglianze appena scritte. Questa informazione non è rilevante ai fini del calcolo dell'integrale.

Ora mi viene detto che devo stare dalla parte delle ordinate positive. Allora porrò y >= 0.
Il fatto che tu metta -2 < x < 2, ho capito da dove arriva l'errore, ma vorrei segnalarti che questa informazione è ridonadante (è già compreso nell'informazione relativa alla circonferenza di raggio 2!!)
Invece dimentichi di mettere un'informazione importante, cioè il fatto che le ordinate vadano prese positive. Credo si tratti di una distrazione. Quindi le ordinate sono positive (y >= 0) però è anche vero che (magari un disegnino aiuta) che queste ordinate più in su di 2 non vanno... Quindi abbiamo anche che y <= 2

BENE, abbiamo quindi le due condizioni:
_
| radq (1 - x^2) <= x <= radq (4 - x^2)
| 0 <= y <= 2
L

Per il calcolo dell'integrale però è estremamente più conveniente passare in coordinate polari, e con ciò intendo che sia la funzione da integrare che gli estremi di integrazione vanno trasformati in cordinate polari.

Facciamolo (chiamerò r il raggio e w l'angolo).

Il raggio varia ovviamente tra 1 e 2:
1 <= r <= 2
Inoltre devo prendere la parte di ordinate positive e quindi devo restare "sopra" l'asse x.
Questo equivale a chiedere 0 <= w <= pigreco

Quando scriverai il doppio integrale (avendo precedentemente anche trasformato la funzione in coordinate polari), gli estremi di integrazione varieranno tra 0 e pigreco per la variabile w e tra 1 e 2 per la variabile r. Ricorda (questo è importantissimo) che siccome ho fatto un cambio di variabile devo anche ricordarmi di sostituire dxdy!! In altre parole non posso mettere al posto di dxdy i due nuovi differenziali drdw. Si può dimostrare che non devo mettere quello ma devo mettere r drdw. Questo va ricordato: quando calcolo un integrale in coordinate polari devo ricordare di sostituire i differenziali e di introdurre il fattore di correzione, che è sempre r (la variabile associata al raggio).

Ora ti chiederai come mai ho fatto tutto lo spiegone delle coordinate polari... Facciamo così: tu prova a svolgere tutti e due gli integrali. Poi fammi sapere quale metodo ti è convenuto di più.

Answer 3

porti tutto in coordinate polari, con una semplice trasformazione.
tenendo presente che:
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ

il tuo dominio diviene quindi definito così:

θ = [0 , π]
ρ = [1,2]
ovvero un rettangolo, di facilissima integrazione

con le formule di prima trasformi la tua funzione integranda

e poi ricorda sempre che con le coordinate polari, il differenziale si trasforma a causa del determinante jacobiano diventando da:
dxdy a
ρ dρ dθ.

in pratica alla fine ti trovi:
INT da 0 a π [ INT da 1 a 2 di f(ρ,θ) ρ dρ dθ]

Finito. Facile facile.

Ogni volta che hai qualcosa che somigli a un cerchio, passa alle coordinate polari in R², alle sferiche in R³ con integrali tripli... diventa tutto molto più facile, o possibile se prima era impossibile.

Answer 4

ciao
solo per dirti che se ti fa piacere saperlo non ho la minima idea di cosa stai parlando...
buona fortuna