alguien que domine la transformada de laplace que me ayude porfavor?

Question

esta ecuacion diferencial:

d¨2 X/dt¨2 + 2dx/dt+5x=1

con x´(0)=x(0)=0

(estas son las condiciones)



(segunda derivada de x con respecto a t) es el primer termino, los otros dos son entendibles

ayuden me porfavor
s¨2 quiere decir s al cuadrado ok

Z{d¨2 x/dt¨2}=s¨2 x(s)-sx(o)-sx´(0)
quedaria remplazando las condiciones asi:
=sx(s)

Z{dx/dt}= sx(s)-x(o)
quedaria
=sx(0)

Z{x}=x(s)

z{1}=/s
ok?
remplazo: s¨2x(s)+2sx(s)+5x(s)=1/s
despejo x(s)
x(s) (s¨2+2s+5)=1/s
x(s)= 1 / (s (s¨2+2s+5))

aqui es donde tengo el problema, solucionar esto por fracciones parciales

x(s)= a/s + bs+c/s¨2+2s+5

no se como hago para averiguar los valores de a y b

si alguien me ayuda le agradeceria y le daria 10 puntos

Answer 1

1 / [s (s² + 2s + 5)] = A/s + (Bs + C)/(s² + 2s + 5). El procedimiento a aplicar es siempre el mismo:
_________
1º) multiplicas ambos miembros por el denominador del primero:
1 = A(s² + 2s + 5) + s.(Bs + C) (i)
_________
2º) Empiezas a dar valores "significativos" a (i). En este caso es solo uno:
s = 0 ----> 1 = 5A ---> A = 1/5
_________
3º) Para hallar "B" y "C" derivamos (i) (el procedimiento de derivadas recurrente que te mostraré es el método que -en general- conduce a la más rápida solución):
0 = A(2s + 2) + (2B)s + C ---> 0 = (2/5) (s + 1) + (2B)s + C (ii)
_________
4º) Un valor "significativo en (ii) es:
s = -1 ---> 0 = C - 2B ---> C = 2B (iii)
_________
5º) Derivamos (ii):
0 = (2/5) + 2B ---> B = - (1/5)
_________
6º) De (iii): C = - (2/5)
_________
Finalmente:
1 / [s (s² + 2s + 5)] = 1/(5s) - (s + 2)/[5(s² + 2s + 5)]

y su anti-transformada de Laplace resulta:

x (t) = (1/5) - [raiz(2)/5] EXP(-t) sen[2t + (¶/4)]
(EXP: función exponencial)
_________
COMENTARIO: ya que hicimos 30... hagamos 31, dice el refrán.
Asumo que sabes hallar la anti-transformada del segundo sumando. De todos modos te comento el método más práctico:
Sea f (t) = A . EXP(-µt) . sen (wt + Ø).

Luego de aplicar seno de la suma, la transformada de Laplace de "f" es:
F (s) = [ (A sen Ø) s + (A w cos Ø) ] / [ s² + (2µ)s + (µ² + w²) ]
_________
Si comparamos esta expresión con: (s + 2)/[5 (s² + 2s + 5)], podemos plantear (siempre se empieza desde el denominador):
2µ = 2 ---> µ = 1
µ² + w² = (reemplazamos el valor de "µ") = w² + 1 = 5 ---> w = 2 (iv)
_________
A sen Ø = 1/5 (v)
A w cos Ø = (de iv) = 2 A cos Ø = 2/5 ---> A cos Ø = 1/5 (vi)
_________
Dividiendo m. a m. (v) y (vi) tendremos: tan Ø = 1 ---> Ø = ¶/4
_________
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando m. a m. quedará:
A² sen² Ø + A² cos² Ø = 2/25 ---> A² = 2/25 ---> A = raiz(2)/5
...

Answer 2

Hola, la verdad no entiendo qué método usás para resolverla. También depende de en qué materia te hayan dado esto. Si sabés análisis complejo de funciones esto sale antitransformando la función, asi te da la expresión de la función x(t). Si te interesa que te explique esto avisame, el que planteás no lo conozco y no veo como hacer para encontrar la solución de esa maneral.
Ah, volvi a leer lo que pusiste y creo ahber entendido. Seguro que lo que tenés es una tabla o algo así con las antitransformadas para las fracciones. Entonces lo querés encontrar asi.
Bueno, entonces tu problema pasa a ser un problema de division en fracciones simples. No recuerdo bien como se hacia esto pero tenés que encontrar las raíces del polinomio que te queda como denominador. Entonces separá en una suma de fracciones simples
a/s + b/(s+1-2i) + c/(s+1+2i)
los denominadores se forman encontrando que el polinomio es igual a la productoria de (s-R), siendo R cada una de las raíces. Luego armá un denominador común con estas fracciones para poder sumar las fracciones. Luego te queda que
a(s+1-2i)(s+1+2i)+bs(s+1+2i)+c(s+1-2i)s
todo dividido por la multiplicación de los denominadores que es igual al polinomio. Asi queda que el numerador debe ser igual al numerador que tenías originalmente en x(s), en tu caso 1. Ahora, despejá el valor de uno de las incógnitas en función de las otras, asi te queda una ecuación con la cual, dándole un valor cualquiera a dos variables te queda definida la tercera.

a = [-sb(s+1+2i) - sc(s+1-2i)] / (s+1-2i)(s+1+2i)

Por último usa esos valores que te dan para la suma de las fracciones simples.
Dándole valor igual 1 a b y c te queda que:
a = [s(2s+2)] / (s+1-2i)(s+1+2i)
Así te quedan dos fracciones muy fáciles de resolver, que son las de b y c, porque tienen numerador 1 y la tercera que tenés que trabajar un poco.
También podés buscar otros valores para que te queden distintas.
Bueno, espero que te haya servido. Cualquier cosa volvé a preguntar. Un saludo.

P.D.: El otro método que te digo es resolver una integral por los residuos.