Un cilindro de base circular debe entrar dentro de una esfera de radio 10 cm.?

Question

Calcular el máximo volumen posible del cilindro.

Quién me puede ayudar a resolver este problema?

Answer 1

Volumen Máximo = 2418,40 cm³
Radio Cilindro = 8,16 cm
Altura Cilindro = 11,547 cm
___________
Trata de "imaginar" (y dibuja) una vista lateral del cilindro dentro de la esfera. Lo que verás entonces es:
a) un círculo de radio R (el radio de la esfera, R = 10 cm)
b) un rectángulo (inscripto ó interior) de base "2r" y altura "h", siendo: "r" el radio de la base del cilindro y "h" la altura del cilindro (debes visualizar esta situación con claridad).
___________
c) Dibuja -ahora- un radio "R" desde el centro de la esfera (centro del círculo dibujado) que llegue hasta la intersección de los lados "2r" y "h".
d) Traza -finalmente- desde el centro de la esfera una línea (que representará al semi-eje del cilindro) que intersecte a la base "2r".
___________
Las dos líneas anteriores determinan un triángulo rectángulo cuyo ángulo "central" denominaremos: "ß" y con catetos de valor "r" y "h/2" e hipotenusa de valor "R" (nuevamente, debes visualizar esto con claridad).

Calculamos:
sen ß = r / R ---> r = R sen ß (i)
cos ß = (h/2) / R ---> h = 2 R cos ß (ii)
___________
El volumen del Cilindro será: VOL = ¶ r² h ["r" y "h" los reemplazamos según (i) y (ii) ]. Entonces:

VOL = ¶ R² sen² ß . 2 R cos ß = 2¶ R³ (1 - cos² ß) . cos ß (iii)
___________
En (iii) efectuamos el reemplazo: cos ß = x quedando:
VOL (x) = 2¶ R³ (1 - x²) x (iv)

Nos queda una función de "x" que derivaremos y e igualaremos a "0" para hallar el máximo, o sea: VOL ' (x) = 0.

VOL ' (x) = 2¶ R³ (1 - 3 x²) = 0 ---> x = 1 / raiz(3) (v)
___________
De (iv) obtenemos el volumen máximo:
VOL [1/raiz(3)] = 2¶ R³ (1 - 1/3) . [1/raiz(3)] = [4/(3raiz(3)] ¶ R³
___________
De (i) obtenemos el radio:
r = R sen ß = R raiz(1 - cos² ß) = R raiz(1 - x²) = raiz(2/3) . R
___________
De (ii) obtenemos la altura:
h = 2 R cos ß = 2 R x = [2/raiz(3)] R
...

Answer 2

mejor imposible, el cacho tiene toda la razon.

Answer 3

Respuesta por medio de máximos y mínimos de la función. Me da flojera, pero el radio del cilindro debe ser de 10* raiz (2)/2= 7.071 cm. La altura será el doble del radio.
El volumen por tanto es: 7.071^2*pi*(7.071*2) = 2221 cm^3
SNME (si no me equivoco).
La explicación es trivial: El cilindro tiene forma cuadrada dentro de un círculo de radio 10.
Como digo, la explicación formal me da flojera. Espero te sirva de algo.

Answer 4

radio al cuadado por la altura o sea 10x10 igual a cien por 10 de altura es igual a 1000 cms.

Answer 5

depende la altura del cilindro!!!