Aidez moi svp problème de maths ( structures Algébriques)?

Question

je vais vs donner l'exemple;
(R,*), x*y = x+y/1+yx
es que (R,*) est un groupe
je vais répondre c'est non car si xy= -1
x*y va pas appartenir à R l'ensembe des réels donc (*) ça va pa être une loi interne


mais si on ns demmande de trouvez H dans R tq (*) est une loi interne sur R-H
est ce que (R-H, *) est un groupe
svp je bloque comlètement ici donc si vs avez la réponse aider moi
merci d'avance

Answer 1

On peut trouver trois propriétés élémentaires pour ton ensemble R-H.
Tout d'abord, en remarquant que 0 est l'élément neutre pour *, 0 est dans R-H : 0*x=x.
Ensuite, en remarquant que l'inverse, pour *, de x, est -x, si x est dans R-H, -x aussi.
Enfin, en remarquant que si x est dans R-H, alors -1/x n'y est pas, on en déduit facilement que deux nombres inverses l'un de l'autre (au sens de la multiplication usuelle) ne peuvent pas être simultanément dans R-H.
Au passage avant de continuer tu vérifies l'associativité. Pour (x*y)*z tu te ramènes à la forme (x+y+z+xyz) / (1+xy+yz+xz) et tu réarranges à ta sauce pour retomber sur (x*z)*y.
La seule chose qu'il te reste à justifier c'est la stabilité de l'ensemble R-H que tu vas choisir.
Si tu fais une étude de la fonction x->x*x, soit 2x/(1+x^2), tu constateras que, quel que soit le nombre x choisi, tu aboutis dans [-1;1]
Autre chose: une étude de la suite définie par x(0)=x et x(n+1) = f(x(n) = x(n)*x(n) montre que:
- si x(0) = 0, la suite est constante et vaut 0.
- si x(0)<0, la suite tend vers -1
- si x(0)>0, la suite tend vers 1.
De plus la suite n'atteint jamais -1 ou 1 à moins que x(0)=-1 ou 1.
Tout cela donne un candidat "naturel", ]1;1[, et cela exclut alors tout nombre de valeur absolue supérieure à 1.
On vérifie au passage que x*y est toujours dans ]-1;1[ si x et y y sont. Pour cela on écrit (remplace tous les signes < et > par des "inférieur ou égal" ou "supérieur ou égal"):
x+y>1+xy => x(1-y)>1-y => x>1 (y différent de 1)
x+y<-(1+xy) => x(1+y)<-(1+y) => x<-1 (y différent de -1)

On peut cependant essayer de faire sauter la contrainte sur la valeur absolue avec des ensembles plus petits, engendrés par un nombre x>1 quelconque, c'est-à-dire en considérant l'ensemble de ses "puissances" (au sens de *), positives comme négatives. Pour montrer qu'aucune de ces puissances ne vaut -1/x ou 1/x, on utilise l'associativité et on fait une petite démonstration par récurrence. On remarque tout d'abord qu'il suffit de le faire pour les puissances positives (les autres nombres étant les inverses au sens de *).
x*x est bien définie.
Ensuite si (x*x*...*x*x) est défini (k fois *), alors en multipliant par x on obtient: x*(x*....*x) = (x*x)*(x*....*x) (k-1 fois * dans la parenthèse): les deux nombres sont bien définis et l'opération * est définie par la loi étendue à ]-1;1[. L'itération est donc assurée.
Si tu essayes de prendre deux germes x et y supérieurs à 1 ça devient pus compliqué car les petits de x et de y vont se reproduire entre eux et tu vas finir par obtenir une véritable portée de lapins et dans le tas, va t'amuser à dire qui est égal ou non à l'inverse d'un des deux parents!

PS pour le génie Guillaume: tu me copieras 100 fois la formule de tan(x+y)...

Answer 2

En effet, comme x*y n'est pas définie par exemple pour x=1 et y=-1 , la loi * n'est pas définie sur R tout entier.
A fortiori, (R,*) n'est pas un groupe.
Mais sur K=]-1,+1[ on peut montrer que * est une loi interne, associative, qui admet l'élément neutre 0 et telle que tout élément x admette le symétrique -x.De plus cette loi est commutative.
(K,*) est donc un groupe (commutatif).
Remarque: On a K=R-H avec H=]-infini,-1] U [1,+infini[

Answer 3

Tu as raison:la loi n'est pas interne dans R.Par contre,elle l'est de façon évidente dans R+ (ensemble des réels positifs ou nuls) également dans R-.L'élément neutre est zéro et la loi est associative (tous calculs faits ,on trouve
(x*y)*z=x*(y*z)=(x+y+z+xyz)/(1+xy+xz+yz)
Par contre dans R+ ou dans R- seul 0 admet un symétrique car x*y=0 quand x=-y.Si tu choisis R-H=R+ ou R-,(R-H,*) n'est donc pas un groupe
NB pour avoir R-H=R+,il faut prendre H=R-* (ensemble des nombres réels strictement positifs)
Ton énoncé me paraît curieux car il est inutile de montrer que * est associative!!!Es-tu sûr que la question n'est pas "trouver H tel que * est interne dans R-H et tel que (R-h,*) est un groupe " ?
Dans ce cas,je ne vois pas.

Answer 4

tu voulais sûrement écrire
x*y=(x+y)/(1+xy)

Dans ce cas la, il faut commencer par regarder pour quelle valeur de (x,y) l'opération (x,y) n'est pas définie. on trouve donc que ce n'est pas le cas pour xy=-1 (comme tu l'as remarque)
*Donc ici, on peut conclure que * n'est pasune loi de composition interne sur R.

Maintenant, on cherche un ensemble (ton énoncé n'est pas clair, je ne sais pas si l'on veut le plus petit H tel que ou un H tel que...) H tel que pour tout x,y dans R\H, x*y est dans R\H.
La première idée que l'on peut avoir c'est de cherche l'élément neutre s'il existe. Ici, on remarque que 0 est le seul élément neutre possible.
donc on sais déjà que 0 n'est pas dans H.
donc tu pourrais prendre H=R\{0}...
mais sinon, H=]-infini;-1]U[1,+infini[ semble un bon choix (en effet si |x|< et |y|<1 alors |xy|<1 et donc 1+xy>0) je te laisse vérifier que (R\H,*) est bien un groupe.


Remarque: est ce que (x+y)/(1+xy) ne te rappelle pas une formule trigo par hasard?
Quand tu auras retrouver laquelle, tu pourrais chercher un morphisme de groupe entre (R\H,*) et (R\{Pi/2+kPi | k dans Z},+)....