Probleme sur un triangle?

Question

Ben voila j'ai un probleme:
Sachant que ABC est un triangle rectangle isocèle en A, calculer BC en fonction de A. Le probleme, c'est qu'il faudrait montrer apres que dans ce triangle, cos 45°=sin 45°=(racine de 2)/2

Answer 1

J'imagine que la question est plutôt en fonction de AB, parce qu'une longueur en fonction d'un point, ça ne voudrait pas dire grand chose.

Donc, dans un triangle rectangle, le cosinus, c'est le côté adjacent divisé par l'hypothénuse.
Donc, ici, cos ABC = AB / BC.

Toujours dans un triangle rectangle, le sinus, c'est le côté opposé divisé par l'hypothénuse.
Donc, ici, sin ABC = AC / BC.

Or, le triangle est également isocèle en A, donc AB = AC.

D'où sin ABC = AB / BC = cos ABC.

On sait aussi que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Or, ABC est rectangle, donc l'angle BAC vaut 90°.
ABC est également isocèle, donc les angles ABC et ACB donc égaux.
D'où ABC = ACB = (180-90 ) / 2 = 45°

On en conclut que cos 45° = sin 45°

J'ai un peu trop détaillé et j'ai plus le temps pour le reste :)


edit : Merci à zglinf d'avoir fini pour moi ;)
et @johnny : un triangle rectangle isocèle, ça existe :p

Answer 2

Je suis assez nul en géométrie, mais un triangle rectangle isocèle me semble un triangle assez spécial : couper un carré par une diagonale forme 2 triangles de cette espèce ... Par conséquent, les angles B et C font 45° ... Est-ce que ça peut t'aider dans les calculs ?

Answer 3

Un triangle rectangle isocèle c'est un carré coupé le long de sa diagonale, ici c'est BC.
la longueur de la diagonale est l'hypothénuse du triangle rectangle et sa longueur est donnée par le théorème de Pythagore.
Le résultat c'est BC=Racine(2)*AB.
Cos 45°=coté/hypothénuse
=1/racine(2)=racine(2)/2

Answer 4

Exact Toonio. et je me permets d'ajouter a la démonstation que :

sin²x+cos²x = 1.

Donc si sin x = cos x , on a :

2 cos² x = 1 soit, cos² x = 1/2. Donc cos x = 1/2^0.5 soit racine 2/ 2.

Comme on sait que x = 45°. On démontre que cos 45 = sin 45 = racine (2)/2

Answer 5

ac=ab car isocéle en a
les angles à la base d'un isocéle sont égaux
or l'angle bac (ou cab) fait 90°
les angles d'un triangle font 180°
180 = 90 + 2n
180 - 90 = 2n
90/2 = n
45=n

sur un cercle trignométrique, un angle de 45° est égal à pi/4.
or cos pi/4 = 1/2 = racine de 2/2 (tu x par racine de 2)
et sin pî/4 = 1/2 !!!
de même, la somme des angles d'un triangle fait pi dans le cercle trigo !

Answer 6

je pense que tu dois calculer BC en fonction de a (et pas A) ou a est la longueur d'un cote issu de A.

Dans ce cas la, le theoreme de pythagore donne a^2+a^2=BC^2
Que l'on peut reecrire BC^2=2a^2 ce qui nous donne BC=a sqrt(2)

Maintenant, comme le triangle est isocele en A, l'angle B est egal a l'angle C. Comme le triangle est rectangle en A, l'angle A est de 90°.
Comme la somme des angles d'un triangle est egale a 180°, B=C=90°/2=45°
donc cos B=sin C=BA/BC=a/(a sqrt(2))=sqrt(2)/2.

Answer 7

il y a des manques dans ton énoncé....

tu sais que l'angle cos(aBc)=coté adjascent/hypothénuse = AB/BC
donc BC= AB/cos(aBc)

tu sais que sinus(aBc)=coté opposé/hypothénuse = AC/BC
donc BC= AC/sin(aBc)
d'où AB/cos(aBc) = AC/sin(aBc)

or c'est un triangle isocèle donc on sait que AB=AC

donc on a bien cos(aBc) = sin(aBc)

tu sais que c'est un triangle isocèle rectangle en A donc:
bAc + aBc + aCb = 180°
l'angle bAc = 90° car rectangle
les angles aBc + aCb =90° comme ils sont égaux car isocèle en A
aBc=45°

par pythagore:
BC²=AC²+AB²
or AC=AB donc BC²=√(2*AC²)
d'où BC=AC*√2

on a vu tout a l'heure que
BC= AC/sin(aBc)

donc AC/sin(aBc)=AC*√2
d'où 1/sin(aBc)=√2
ou encore sin(aBc)=1/√2=√2/2

donc on a bien
cos45°=sin45°=√2/2

Answer 8

Supposons que le triangle ABC et isocèle rectangle en A, alors AC=AB=a et angle(ABC)=angle(ACB)=45°
ABC rectangle ==> BC²=AB²+AC²=a² ==>BC=a*racine(2)
cos(45)=AB/BC=a/a*racine(2)=(racine de 2)/2
sin(45)=AC/BC=...

Answer 9

Facile cos(45°)=sin(45°)

Puisque si tu prends un triangle rectangle ABC, isocele en A

le calcul du cos(A) te donne adj/hyp

et par pythagore tu retrouve la valeur 1/racine(2) ou racine(2)/2

c'est identique pour le sin(A)

et A vaut bien 45 car A+B+C=2A+90=180 A=45

Voila

Donc dans ton probleme BC est l'hypothenuse du triangle elle vaut AB racine(2)=AC racine(2)

Answer 10

C'est BC en fonction de AB (et non de A).D'après le théorème de pythagore
BC²=AB²+AC²
BC²=2AB²
BC=AB racine de deux
Donc cos 45°=AB/(AB racine de deux)=1/(racine de deux)
et en multipliant haut et bas par racine de deux
cos 45°=(racine de deux)/2
idem pour sin 45°