como demuestro la siguiente suma?

Question

si sumamos raiz cuadrada de 2 + raiz cuadrada de 3 , como sabemos que su resultado es un numero irracional , porfavor necesito saber como demostrarlo , por obviedad se que el resultado es un numero irracional pero no me sale la demostracion

Answer 1

Primero prueba que raiz(2) es irracional. Luego supones que

raiz(2)+raiz(3) es racional

es decir

raiz(2) + raiz(3) = q, para algún q racional

raiz(3) = q - raiz(2), elevas al cuadrado ambos miembros

3 = q^2 - 2q raiz(2) + 2

2q raiz(2) = q^2 -1

por lo tanto

raiz(2) = (q^2-1) / (2q)

por lo que raiz(2) sería racional, dado que q lo es. Esta contradicción viene de haber supuesto que raiz(3)+raiz(2) es racional. La consecuencia lógica es que

raiz(3)+raiz(2) es irracional. Fin de la demostración.

Apéndice:

Para probar que raiz(2) es irracional, primero debes convencerte del siguiente hecho:

Si un número no es par, su cuadrado no es par.

En efecto

(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1, no es múltiplo de 2

La conclusión lógica de este hecho es que

Si a^2 es par, entonces a es par

Con esto, supones que raiz(2) es racional, es decir, existen dos enteros sin factor comun p y q, tales que

raiz(2) = p/q

luego

p = raiz(2) q

p^2 = 2 q^2, como p^2 es par, p es par ...... (A)

Si p es par, p = 2k, por lo tanto

(2k)^2 = 2 q^2

4k^2 = 2 q^2

2 k^2 = q^2, por lo tanto q^2 es par y así q es par ...... (B)

lo demostrado en (A) y (B) es una contradicción de que p y q no tienen factor común, por lo tanto raiz(2) no puede ser racional.

Observaste que nunca fue necesario saber, ni preguntarse siquiera, que raiz(3) es irracional? Sabemos que lo es y la prueba es similar a la de raiz(2), pero en este caso lo importante es que el cuadrado de raiz(3) es un racional (particularmente un entero).

Saludos.

NOTA: Lei que hay quienes te dicen que es obvio que la suma de dos irracionales es irracional. FALSO, aqui te doy un ejemplo

x = raiz(2) es irracional
y = 1-raiz(2) es irracional

x+y ¿es irracional? ¿verdad que no?

Además recuerda que la demostración nunca supone que en la suma raiz(2)+raiz(3) ambos son irracionales, sólo que

1) raiz(2) es irracional
2) el cuadrado de raiz(3) es entero.

Answer 2

por el absurdo si raiz2 + raíz3= b racional, luego
raíz2= b - raíz3, elevar al cuadrado ambos miembros, queda
2= b*2 - 2braíz3+3,
2 b raíz3 =b*2+1,
raíz3= (b*2 + 1)/2 b
es decir raíz3 es racional (contradicción)!. Listo.

Answer 3

Se podría usar la siguiente demostración:

Un número irracional es aquel que no es racional, o que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

Si a un número racional lo elevamos al cuadrado, debe necesariamente dar un número racional.

Si tu proposición no es irracional (si fuera racional), el cuadrado sería racional.

Elevando al cuadrado y resolviendo el binomio queda:
2+2*raiz(2)*raiz(3)+3
2+2*raiz(6)+3

Como la raíz de 6 es irracional, tu número es irracional

Espero que sirva. Saludos.

Answer 4

\/2 + \/3 = 1,41.. + 1,71.. = 3,146..
si sumamos un numero irracional con otro, temos siempre un numero irracional.
<><

Answer 5

si raíz de dos es irracional, y le sumamos otro irracional como es raíz de tres, se obtiene otro irracional, siempre que sumamos números de la misma categoría se obtiene esa misma se le denomina ley de cierre. si sumas una papa con otra papa es difícil que obtengas un camote

Answer 6

ya sabes que va a ser irracional porque 2 y 3 no tienen raiz cuadrada...bueno si tienen pero el resultado de los dos es irracional.

perdon no me se expresar bien,mil disculpas

saludos.

Answer 7

ok
deja hacerla y te la paso ok?????