SVP! Savez vous comment on calcule en maths : cos (pi)/8 + cos 3(pi)/8 + cos 5(pi)/8 + cos 7(pi)/8?

Question

S'il vous plait expliquez moi comment on peut calculer
cos (pi)/8 + cos 3(pi)/8 + cos 5(pi)/8 + cos 7(pi)/8
"(pi)" signifie le P grec ( 3.14.....)
quand je met "/" ca veut dire "sur", divise par....
C'est en Trigonometrie.... PLZZ

S'il vous plait expliquez moi comment on peut calculer
cos (pi)/8 + cos 3(pi)/8 + cos 5(pi)/8 + cos 7(pi)/8
"(pi)" signifie le P grec ( 3.14.....)
quand je met "/" ca veut dire "sur", divise par....
C'est en Trigonometrie.... PLZZ
ET sans la calculatrice

et sans la calculatrice svp

Answer 1

Un truc plus simple :
Tu remarques que ta somme (notons A) est égale à la partie réelle e^i(pi/8)+e^i(3pi/8), etc
C'est donc la partie réelle d'une somme de termes d'une suite géométrique (complexe) de raison e^i(2pi/8) différente de 1.
Tu peux donc appliquer la formule de la dite somme.
Après, tu auras un quotient de la forme (e^i(n*2pi/8) - 1)/((e^i2pi/8) - 1)
Tu factorises par e^i(n*pi/8)/e^i(pi/8), tu appliques les formules d'euler, tu retrouves la partie réelle et le tour est joué.

Voilà, c'est un grand classique de la pré-prépa (càd la semaine de la rentrée qui précède le vrai démarrage).

Answer 2

ca fait 0 car cos(t) = - cos(pi-t)
donc cos(pi/8) = - cos(7pi/8) et cos (3pi/8) = -cos(5pi/8)

Answer 3

Mets un point à Nicolas L... il a tout à fait raison....
Enfin apprends tes formules de trigo notamment que :

cos (pi-x) = -cos(x)

Answer 4

Ne t' affole pas il faut juste réecrie alors:
7(pi)/8 = 8(pi)/8 - (pi)/8 soit :pi - (pi)/8
5(pi)/8 = 8(pi)/8 - 3(pi)/8 soit : pi - 3(pi)/8
or tu sais d' après les formules de la trigo que
cos ( pi - a) = - cos(a);
Reprends le cercle trigonométrique tu verras c' est facile.
donc
cos 7(pi)/8= - cos( pi)/8;
cos 5(pi)/8 = - cos 3(pi)/8;
L' équation
cos (pi)/8 + cos 3(pi)/8 + cos 5(pi)/8 + cos 7(pi)/8
devient
cos(pi)/8 + cos3(pi)/8 -cos(pi)/8 -cos3(pi)/8
Soit après simplification c' est nul.
CQFD

Answer 5

Ce n'est pas 1 mais 10 points qu'il faut donner à Nicolas L!

Answer 6

cos(x)=cos(-x)=cos(x+2pi)=cos(2pi-x)
cos(pi+x)=-cos(x)=cos(pi-x)
pi/8= pi-7/8pi
3/8pi=pi-5/8pi

un peu de reflexion et tu trouve la solution

Answer 7

qu'attedns-tu pour donner 1 point a Nick!

Answer 8

cos 3(pi)/8=cos(pi-5(pi)/8)= -cos 5(pi)/8 et
cos 7(pi)/8=cos(pi-(pi)/8)= -cos(pi)/8
Donc cos(pi)/8+cos3(pi)/8+cos5(pi)/8+cos7(pi)=
cos(pi)/8 -cos 5(pi)/8+cos 5(pi)/8 -cos(pi)/8=0

Answer 9

c'est une suite géométrique

Answer 10

C'est la partie réelle de :

exp(i.pi/8)+
exp(3.ipi/8))+
exp(5.ipi/8))+
exp(7.ipi/8)

Or cette somme est égale à (factorisation, série géométrique) :

exp(i.pi/8){exp(8i.pi/8)-1}/
{exp(2i.pi/8-1}

soit :

-2/{exp(i.pi/8)-exp(-i.pi/8)} =

-2/{2isin(pi/8)}

imaginaire pure.

Bon, ok c'était un peu bourrin.

La solution :

cos(7pi/8)=cos(pi-pi/8)
=-cos(pi/8)
cos(5pi/8)=cos(pi-3pi/8)
=-cos(3pi/8)