x^2+4xy+6xz+4y^2+12yz+9z^2=0 hat wie viele Nullstellen?

Question

wenn (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) zwei beliebige Lösungen dieser Gleichung wären, ist die Summe dieser Nullstellen auch eine Nullstelle dieser Gleichung?
ich meine (x1+x2, y1+y2, z1+z2) ist dann auch eine Nullstelle für diese Gleichung?
anders ausgedrückt, ist die Menge der Lösungen dieser Gleichung bzgl. der Addition, abgeschlossen oder nicht?

x^2+4xy+6xz+4y^2+12yz+9z^2=0 hat wie viele Nullstellen?

Answer 1

Etwas genauer hinsehen und man sieht
x^2+4x y+6x z+4y^2+12y z+9z^2=(x+2y+3z)^2=0

Also

x+2 y +3 z =0

Das ganze spannt die Ebene durch den Koordinatennullpunkt mit dem Normalenvektor(1,2,3) auf. Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zwei nicht kolineare Vektoren in der Ebene zu finden (z.B für z=0 und anschließend für y= 0 und die Ebenengleichung lösen) und schon ist eine Basislösung gefunden, die linear kombiniert alle Lösungen beschreibt.

Answer 2

In die Richtung die KN vorgeschlagen hat, habe ich auch geguckt aber die Lösung nicht sofort gesehen. Das ist der einzig praktikable Weg. Daumen hoch!

Answer 3

Die Gleichung hat für reelle x, y, z unendlich viele Lösungen: Wähle für zwei der Variablen beliebige Zahlen, so bekommst du für die dritte eine quadratische Gleichung, die sich lösen lässt, sofern die Diskriminante nicht negativ ist. Dafür gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

Die Menge der Lösungen ist bezüglich "+" nicht abgeschlossen: setzt man die Summe zweier Lösungen in die Gleichung ein, entstehen "gemischte Terme" , z.B. bei den binomischen Formeln, die sich nicht herausheben. Also ist so eine Summe keine Nullstelle.

Answer 4

aber ansonsten bist du glücklich?

Answer 5

Keine Ahnung, aber ich löse hier für niemanden seine Mathematikhausaufgaben, dafür ist mir meine Zeit dann doch zu kostbar.

Gruß
Franky