kann mir jemand was über quadratische ergänzungen bei quadratischen funktionen erzählen??

Question

am wichtigsten wäre wie die dinger entstehen also wie man auf die ergänzung kommt..
danke im vorraus

Answer 1

Hi Plinchen,

die quadratische Ergänzug ist eine ziemlich clevere Möglichkeit eine qudratische Gleichung derart zu erweitern, dass sich ein Binom formen lässt, dass dann im nächsten Schritt recht einfach radiziert werden kann und so zu einer Lösung der qudratischen Gleichung führt.

Beispiel qudratische Gleichung:

ax² + bx + c = 0

Normalform:

x² + b/a * x + c/a = 0

Substitution:

p = b/a

q = c/a

daraus folgt die Normalform der QG

x² + px + q = 0

Ein Binom sieht wie folgt aus:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

In der obigen quad. Gleichung steht num ein Term in x:

x² + px

Um aus diesem Term ein Binom zu formen fehlt der quadratisch Term. Nun erfolgt der analoge Schluss:

die qudratische Ergänzung zu

2ab ist b²

analog ist die quadratische Ergänzung zu

px = ½p²

Diese quadratische Ergänzung wird nun der Gleichung hinzugefügt:

x² + px = - q

x² + px + (½p)² = (½p)² - q

Damit lässt sich der linke Teil der Gleichung als Binom schreiben:

(x + ½p)² = (½p)² - q

Diese Gleichung lässt sich jetzt bequem lösen.

Answer 2

Schau dir mal diese Seite an, da gibt es eine anschauliche Erklärung und auch Übungsmöglichkeiten:

http://home.fonline.de/rs-ebs/algebra/alg4.htm

Answer 3

Ich glaube, daß dir am besten mit einem Beispiel gedient ist:

f(x)=2x^2+20x-30

Zuerst musst du faktorisieren, dh. ausklammern:
f(x)=2*(x^2+10x-15). Ok?
Jetzt kommt die Ergänzung. Diese machst du mit der Zahl, die vor dem x steht, nicht mit dem x^2 Ausdruck, in Ordnung?
Also: (10/2)^2=25. Immer durch 2.Ok?
Nun:
f(x)=2*(x^2+10x+5^2-5^2-15).Die ersten 3 Terme bilden nun das 1.Binom der Form (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Also:(x+5)^2=x^2+10x+5^2, ok?
Insgesamt folgt nun:
f(x)=2*{(x+5)^2-5^2-15)
f(x)=2*{(x+5)^2-25-15)
Und damit:
f(x)=2*{(x+5)^2-40}
Aumultiplizieren:
f(x)=2*(x+5)-80
Das ist nun das gleiche wie die Ausgangsgleichung, nur hier kannst du sofort den Scheitelpunkt ablesen. Hier:
S(-5/-80)
Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe und dir helfen konnte.

Answer 4

du musst mit einer Quadratzahl ergänzen, sodass insgesamt eine binome Formel Formel entsteht. Vergiss aber keinesfalls die hinzugefügte Zahl wieder abzuziehen.

Beispiel:
Binome Formel wäre: a²+2ab+b²

Du hast: a²+2ab

Also musst du so ergänzen: (a²+2ab+b²)-b²