Sur les nombres complexes...?

Question

Dans C on considère les complexes z1 et z2 de module 1 et d'arguments respectifs a et b (alpha et beta normalement).
Montrer que (z1+z2)²/(z1*z2) est un réel positif ou nul.

Je sais pas du tout comment m'y prendre ni par où commencer ! :(

non je ne me suis pas planté dans l'énoncé, c'est bizarre...
J'ai essayé les plusieurs pistes j'y arrive toujours, aidez moi svp !

"j'y arrive toujours" => je voulais dire "je n'y arrive toujours pas" évidemment

Answer 1

avec z1=e^(ia) et z2=e^(ib)
tu obtiens ton quotient égal à:
e^i(a-b)+e^i(b-a)+2= 2 cos(a-b)+2
e^i(a-b) et e^i(b-a) sont complexes conjugés donc leur somme est réelle c'est 2 fois leur partie réelle.
Après tu dis comme champo!
Sauf que si cos (a-b)=-1 ça peut faire 0.
Donc quotient positif ou nul.

Answer 2

ca s'écrit sous la forme z+z*+2 avec z de module 1

soit 2 cos(a-b)+2>0 car cos>-1

Answer 3

Souvent on utilise z-zbarre= 2i* la partie imaginaire de z. et on montre que ce terme est nul.
Ca te prouvera que ton nombre est réel il faudra encore montrer qu'il est positif.
Tu peux aussi essayer de montrer que l'argument de ton nmbre est nul

Voilà deux pistes...


Pour continuer :
z1 et z2 sont des nombres complexes de module 1
quand on fait la somme, il est facile de montrer que l'argument de z1 + z2 est (a+b)/2 celui de son carré est donc a+b
je te laisse démonter ce que je viens d'écrire et continuer.

Answer 4

développe avec les formules d'Euler ou tout simplement commence par exprimer les complexes sous leur forme complexe: z1=a+ib

Answer 5

Très simple, écrit z1 et z2 sous la forme :

exp(ja) et exp(jb)

Développe :

(z1+z2)²=
exp(2ja)+exp(2jb)+2exp[j(a+b)]

Divise par exp[j(a-b)] (j'ai échangé a & b)

exp[j(a+b)]
+exp[-j(a+b))]
+2exp[2jb]

Et là on se rend compte que tu t'es planté dans l'énoncé !

Answer 6

Pour commencer, calcule z1+z2, et arg(z1+z2).
(Tu connais les formules sin p + sin q, non?)