Problème de Maths Sans frontière// Seconde//? -BIS?

Question

N'ayant reçu aucune réponse satisfaisante à ma question je l'a repose! Au passage, je ne suis plus élève de seconde depuis longtemps malheureusement.... mais je n'ai aucune idée d'une justification accessible à ce niveau là!

< Cette margelle a la forme d’une couronne circulaire de centre O, de grand rayon 75 cm et de petit rayon 45 cm. Les points A, O et B sont alignés dans cet ordre. Le point A est un point du grand cercle et B un point du petit.

Quel est ( ou plutôt quels sont...) le plus court chemin que pourrait emprunter l’escargot pour aller manger la salade?>>

Trouver la solution empiriquement, c'est facile. (il s'agit du segment [AR] porté par l'une des deux tangentes au petit cercle pasant par A suivi de l'arc de cercle RB) Mais qui peut donner une justification rigoureuse?

Le problème peut être abordé par le côté: * démontrer que la forme du chemin est segment+arc de cer

cle (mais cela n'est pas facile à rédiger soigneusement MEME si on s'autorise d'utiliser la convexité du cercle, ce qui n'est pas au programme de seconde)
* puis établir que la position de R tel que AR tangente minimise le chemin (algébriquement ;;;; PAS FACILE !)

Answer 1

On commence par montrer que la trajectoire de l'escargot ne peut être que sur un seul des deux grands demi-disques délimités par le la droite (AB). Par l'absurde sinon, La trajectoire de l'escargot coupe deux fois la droite (AB) en un point A et un point M, et à ce moment-là on peut remplacer la portion de trajectoire entre A et M par le segment [AM].
Ce préliminaire étant établi, la trajectoire de l'escargot va devoir couper au moins une fois chacun des rayons de l'un des deux grands demi-disques. Pour être parfaitement rigoureux sur ce point, il faut faire appel au théorème des valeurs intermédiaires, qui est au programme de terminale, mais on peut admettre un raisonnement empirique disant que, si l'escargot ne coupe jamais un rayon donné du demi-disque, il ne pourra jamais rallier le point B.
On montre ensuite, par le même argument qu'au début, que l'escargot, pour suivre une trajectoire minimale en distance, ne doit couper chaque rayon qu'une seule fois, et notamment le rayon déterminé par (OR).
On suppose que l'escargot coupe (OR) en un point S. Le point S étant toujours accessible en ligne droite depuis A, la trajectoire la plus courte pour rallier A à S est nécessairement de suivre le segment [AS]. On sait alors, puisque (AR) est tangente au petit cercle, que ARS est rectangle en R. Alors, [AS], l'hypoténuse, est de longueur supérieure à AR, sauf si R=S. On montre ainsi que la façon la plus rapide de rallier A à (OR) est de suivre [AR]. On n'a pas encore montré, à ce stade, qu'il fallait passer par R :il faut montrer pour cela qu'une fois le rayon (OR) dépassé, la façon la plus rapide de rallier deux rayons donnés est d'emprunter le cercle.
On va supposer que, dans la région située au-delà de (OR), l'escargot passe par un point P. Si P n'est pas sur le petit cercle, on considère un autre rayon suffisamment proche pour que son intersection avec le petit cercle soit accessible en ligne droite depuis le point P. Si on suppose que l'escargot coupe le rayon en question en un point Q, alors on montre que l'on parcourt moins de chemin en allant en ligne droite de P à Q, puis en faisant en sorte que Q soit sur le petit cercle (en utilisant les mêmes arguments que précédemment), puis on montre que l'on parcourt une distance moindre en allant de (OP) à (OQ) en suivant le petit cercle. En effet, si l'on appelle alpha l'angle entre (OP) et (OQ), le premier parcours a pour longueur (r+x).sin(alpha) (où r est le rayon du petit cercle et x la distance de P à Q) et le parcours sur le cercle a pour longueur r.(alpha).
Le quotient des deux valeurs vaut (r+x)/r.sin(alpha)/alpha = tan(alpha)/alpha. Là, je fais une légère entorse au protocole en faisant une rapide étude de fonction pour vérifier que tan(x)/x est bien plus grand que 1 pour x>0 (programme de première) car je n'ai pas d'idée simple pour faire autrement.
Il ne reste plus, avant de conclure, qu'à noter un petit détail: le plus lointain point du cercle accessible en ligne droite depuis A est le point R.
On a finalement montré ce qu'on voulait: en-deçà de (OR), le plus rapide est de prendre la tangente, et au-delà, entre deux rayons (OP) et (OQ), aucune trajectoire ne permet d'aller plus vite qu'en suivant le petit cercle. On en déduit donc la trajectoire que tu as conjecturée entre A et B.

Answer 2

Avec la notion de développée, on peut s'en sortir
Soit L la longueur de l'arc de petit cercle BR
Soit D la tangente au petit cercle en B
Considerons l'ensemble E des extremites d' une ficelle de longueur L, fixee a un bout en B tendue au maximum, et restreignons nous aux extremites contenues dans le demi-plan delimite par D qui contient R.
le point R fait donc partie de cet ensemble. (a mon avis c'est un morceau de cycloide)
L'enveloppe des droites normales à cette courbe est l'arc de cercle BR. Autrement dit, la courbe part normalement au petit cercle en R, et est donc contenue dans un demi-plan delimité par (OR)

Placons nous maintenant en A. Soit le cercle C2 de rayon AR et de centre A. Il est tangent a (OR) et situe dans l'autre demi-plan que celui qui contient la courbe E.

L'intersection des deux courbes, restreint à la margelle est donc reduite au point R. Comme tous les points de la margelle a distance AR de A peuvent etre atteints en ligne droite, on en deduit que si l'escargot passait par un autre point de C2 (appelons le R1), Il ne serait pas sur la courbe E et ne pourrait donc etre atteint par notre ficelle de longueur L (puisque dans le mauvais demi plan). Autrement dit l'escargot parcourrait une distance AR1 + L1 avec AR1=AR et L1>L, donc une distance supérieure a celle du chemin passant par R.

Answer 3

le chemin le + court ne serait il pas plutôt le suivant :
tangente au petit cercle passant par A
on suit le petit cercle puis tangente au petit cercle passant par B

sachant que le chemin le + court c'est la ligne droite ça ma parait possible... je vais y réfléchir

Answer 4

slt
je me suis creusé la tete, et je suis arrivée a une solution, mais a vrai dire je sais pas trop comment j'ai fait

je pense que le chemin est ARB

je sais pas si c'est exact, mais bon, j'aurais au moins essayé

Answer 5

Soit C le point du petit margelle le plus proche de A.
La distance à parcourir est A C B.
Distance AC =75-45 soit 30cm
Distance CB = 3.14 x 2 x 45 = 282.6 cm
Distance ACB = 30 cm + 282.60 cm =312.60cm
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