Prouver la périoicité de d(x)=x - E(x) sachant que E(x) est la fonction partie entière ?

Question

Je sais que pour prouver la périodicité d'une fonction (ici dans R) il faut remplir deux conitions :
* pour tout x appartient à l'ensemble de definition, (x+T) appartient à l'ensemble de définition
* d(x)=d(x+T)

Cependant la présence de la fonction partie entière me perturbe et je ne parvient pas àprouver la périodicité de ma fonction d(x) ...

Answer 1

La partie entière du nombre réel x est le nombre entier relatif N
tel que
N<= x < N+1 donc
N+1 <= x+1 <(N+1)+1
on a donc toujours E(x+1)=E(x)
Cela ne suffit pas :il faut montrer que 1 est le plus petit nombre T strictement positif tel que l'on a toujours
E(x+T)=E(x).C'est évident car sit 0 E(o) différent de E(T)
Je n'ai pas parlé du domaine de définition car pour E c'est R

Answer 2

Pour x donné:
d(x+1)= x+1 - E(x+1)
Or E(x+1)=E(x)+1 (découle immédiatement de la définition de E).
Donc d(x)=d(x+1)
1 est donc une période de d.
Il faut ensuite prouver que c'est la plus petite.
Pour cela on choisit x=0 et on cherche le plus petit nombre y>0 tel que: 0=d(x)=d(y).
Il est évident que si y<1, d(y)=y n'est pas nul.
Donc 1 est la plus petite période possible. CQFD

Answer 3

L'application partie entière se définit de la manière suivante:
qq soit x de R, E(x) <= x < E(x)+1
donc E(x)+T <= x+T < E(x)+T+1
donc d'après la définition, E(x+T)=E(x)+T

d(x+T)=x+T - E(x+T) = x+T - E(x)-T = x - E(x) = d(x) : CQFD

Bonne continuation!

Answer 4

x-E(x) est périodique de période 1
Tu as bien tes deux propriétés vérifiées

# Première propriété
(x+1) appartient à R pour x dans R

#Deuxième propriété
E(x+1)= E(x)+1 pour x dans R
Donc d(x+1)=x+1-E(x+1)=x+1-(E(x)+1) = x-E(x) = d(x)

Answer 5

Tu comprendras mieux si tu remarques que d(x) est la partie décimale de x (un nombre à qui tu enlèves sa partie entière, il reste sa partie décimale non?)
d(x) va donc avoir périodiquement sur [n;n+1[ , n dans Z, toutes les valeurs de [0;1[.
C'est Noël! /_/_/_/_/_/_/_/_/

Answer 6

Je pense qu c'est tout simplment "1", l'unité, qui est la distance la plus courte entre deux entiers.

Answer 7

x-E(x)?

sur [0,1[ E(x)=0 donc d(x)=x

sur [1,2[ E(x)=1 donc d(x)=x-1

cela ressemble à un signal en dent de scie et je dirai que T=1

Pour le montrer calcul d(x+1)

d(x+1)=x+1-E(x+1)=x+1-(E(x)+1)

c'est une propriéte de E(x)

donc d(x)=x-E(x)=d(x+1) cqfd

En plus d(x) es définie sur R

Answer 8

C'est le seul truc dont j'ai horreur, les maths..

Answer 9

arrete les cours!!

Answer 10

ben tu dois dire en gros que 3,5-3=2,5-2......

enfin voila une base de reflexion....