"On affirme que "Je ne suis pas démontrable dans cette théorie".
Si on parvient à la démontrer, elle est s'avère donc fausse en se démontrant!
Et si on ne peut la démontrer, la proposition est donc vraie, donc la théorie est insuffisante..."
Qu'en pensez vous?
Cf. Le théorème de Gödel, Ed.Seuil
2006-11-21 20:34:12 · 14 réponses · demandé par Moon Pyo 3 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
En fait, ce qu'a démontré Gödel, ce n'est pas que des théories mathématiques prouvées sont fausses, mais qu'il existe des théorèmes mathèmatiques dont on ne peux pas savoir s'ils sont vrais ou faux.
Les mathématiques sont incomplètes, pas fausses... Si un théorème est prouvé vrai, il est vrai, si un thèorème est prouvé faux, il est faux. Il reste des thèorèmes dont on ne peut pas dire dans quelle catégorie ils se trouvent, c'est tout.
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Ajout pour répondre à "DIEU" (ça fait bizarre à dire comme ça... ;) )
Tu parles de la "philosophie mathématique" dite "Constructiviste".
Il s'agit de ne considérer qu'un objet mathèmatique quel qu'il soit doit être construit pour être prouvé. Ceci exclue par définition les preuves par l'absurde en tant que preuve mathématique.
Les conséquences de ce mode de pensée sont trés nombreuses. C'est un sujet trés intéressant mais aussi trés compliqué...
Je trouve l'article wikipedia à ce sujet (http://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_%28math%C3%A9matiques%29)
particulièrement mauvais... C'est une démonstration de l'art de rendre chiant un sujet super intéressant... Si quelqu'un connait un autre lien...
2006-11-21 21:45:05 · answer #1 · answered by Anonymous · 2⤊ 1⤋
fausses? non... mais des résultats peuvent etre indeterminés... quoqu'il y a un léger problème de logique dans les raisonnement par l'absurde... je laisse quelqu'un qui a plus de culture que moi dans ce domaine le loisir de complèter...
2006-11-22 12:48:38 · answer #2 · answered by Ape 3 · 1⤊ 0⤋
en effet, à ce titre je me suis toujours demandé si l'ensemble de tous les ensembles se contient vraiment lui même
2006-11-22 04:49:38 · answer #3 · answered by sacha m 5 · 2⤊ 1⤋
A sacha_m.
Tu me le dois sur ce qui fut un pb majeur.
On pourrait y répondre ainsi : qu'est ce qui te fait penser qu'un tel ensemble existe ?
On pourrait penser qu'on peut définir un ensemble de façon naïve, càd par exemple en disant justement cet ensemble est l'ensemble de tous les ensembles. Mais justement pour pallier à ce problème, on définit un ensemble par une propriété collectivisante (ie qui n'aboutit pas à des contradictions).
2006-11-22 14:42:54 · answer #4 · answered by divers789 2 · 0⤊ 0⤋
ce qui n'est pas ecrit dans les differentes reponses, c'est que certains theoremes sont VRAIS ET indemontrables, comme l'exemple dans la question posee.
Autrement dit, aucune theorie suffisamment complexe (par exemple, englobant l'arithmetique) ne permet de demontrer tous les theoremes de cette theorie.
Certains y voient une richesse infinie des mathematiques, laissant toujours la porte ouverte a de nouvelles decouvertes, d'autres s'arrachent les cheveux. Mais ce qui est sur, c'est que cela ruine toute tentative d'axiomatiser les mathematiques : On pourra toujours rajouter des nouveaux axiomes sans rendre la theorie contradictoire.
2006-11-22 13:34:14 · answer #5 · answered by trash k 2 · 0⤊ 0⤋
Voir le lien
2006-11-22 08:18:09 · answer #6 · answered by maussy 7 · 1⤊ 1⤋
Les mathématiques sont rigoureuses, c'est l'outil parfait par définition, y compris le théorème d'incomplétude de Gödel. La logique mathématique est une partie des mathématiques, extrêmement rigoureuses, et qu'il faut étudier (les bases ne sont pas difficiles, un bon livre suffit) AVANT d'écrire des choses qui... ont très peu à voir avec elle
2006-11-22 07:48:24 · answer #7 · answered by Obelix 7 · 0⤊ 0⤋
D'abord quelques points de vocabulaire :
"Avérer" signifie par définition être reconnu vrai. Donc, "avérer faux" est déjà une contradiction dans les termes ! :)
Ensuite, les mathématiques reposent en effet sur le principe de non contradiction, et en particulier fonctionne par "propositions". Une proposition est une assertion qui est soit vraie, soit fausse.
Donc dire "cette phrase est fausse" (contradiction dans les termes), cela peut se dire bien sûr (je viens de l'écrire) mais cela n'a pas de sens en mathématiques.
Maintenant, certes, Gödel et quelques autres sont allés plus loin, en particulier en réfléchissant sur la théorie des ensembles, pour voir s'il était vraiment possible de construire un système mathématique excluant la possibilité d'aboutir à une contradiction (type "l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes", qui ne peut ni se contenir lui-même, ni ne pas le faire...). Mais j'avoue humblement que je ne suis pas très avancé dans cette étude là (j'espère toujours m'y remettre un jour).
Donc OK je n'apporte pas beaucoup plus sorry, mais je tenais surtout à attirer l'attention sur la sémantique, parce que quand on commence à réfléchir sur des problématiques de logique, non-contradiction, etc, il me semble essentiel d'être précis dans le vocabulaire, sinon ça devient vite du n'importe quoi où l'on ne sait plus où on en est).
2006-11-22 05:26:30 · answer #8 · answered by Humpty a une envie de chocolat 6 · 0⤊ 0⤋
Dans tous les cas, pour prouver quoique ce soit en mathématiques, il faut une démonstration qui s'appuie sur des bases solides et elles mêmes démontrées (postulat de départ).
Il peut s'agir d'une démonstration par l'absurde.
Dans ce cas, et dans ce cas seulement, une proposition mathématique est vraie.
2006-11-22 05:16:35 · answer #9 · answered by Thomas W 5 · 0⤊ 0⤋
oui et heureusement car chaque erreur nous ouvres d'autre possibilité c'est comme un arbre = en partant d'une hypothèse on en trouve d'autre grâce au impossibilité = on par du tronc et on ramifie toute les branches. même einstein et remit en cause aujourd'hui
2006-11-22 04:50:34 · answer #10 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋