Calcular Radio circunferencia a partir de coordenadas?

Question

A ver amigos, os explico lo mejor que pueda. Usamos una máquina para medir objetos. La máquina se enfoca a un punto concreto de un objeto y toma lectura del mismo en un eje de coordenadas en 3d, osea que al tomar lectura nos da tres valores de ese punto, medida en eje X, medida en eje Y y medida en eje Z. Con esos valores podemos medir distancias entre punto y punto, alturas y otras cosas. Una de las prácticas mas habituales es medir circunferencias. Se toman tres puntos de la misma, con sus tres medidas por punto y la máquina calcula el radio y el diámetro de la circunferencia. Lo que quiero saber es como se puede mediante las matemáticas, que es como lo hace la máquina, calcular con esas tres coordenadas dichos valores.
Gracias.

bueeeenoo, no me esperaba tal cantidad de respuestas y de tanta calidad técnica. Os pediría un favor sin ánimo de abusar. Hace muchos años que no practico ecuaciones, desde el cole, por lo que me pierdo un poco con estas que me exponeis. ¿Podríais explicarme un poco mas la forma de resolverlo, o mejor dicho, me lo podríais explicar "pa tontos"?
Gracias a todos/as por la ayuda.

Answer 1

Hola
creo que se haría así

La ecuación de una circunferencia es
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Como conoces tres puntos (3 parejas de valores x-y) tienes un sistema de tres ecuaciones con 3 incognitas. Lo resuelves y sacas A, B y C

Llamando A = -2a, B = -2b

el radio es igual a:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

x-y es un punto cualquiera de la circunferencia, haces la raiz cuadrada y sacas el radio

salu2

Answer 2

Enhorabuena que vi este problema. esta facil. aplicamos distancia entre dos puntos para calcular el valor del radio, seria: r = V(x1-0)*2 +(y1-0)*2 r = Vx1*2 + y1*2 ..................(I) ahora, tambien podemos calcular el angulo para esas coordenadas que tienes de dato, tan(alfa) = y1/x1 alfa = ArcTan(y1/x1) .........(II) ahora, para hallar las nuevas coordenadas, tenemos el angulo very final que seria: A+alfa por lo tanto: x2 = rcos(A+alfa) y2 = rsen(A+alfa) solo tienes que reemplazar de (I) y (II) , para hallar las nuevas coordenadas que te piden. suerte espero haberte ayudado chaval saludos desde Lima PERU tu amigo el mecanico.

Answer 3

hazle caso a marv tiene la respuesta

Answer 4

Ok. He visto q te han dicho que la ecuación general de una circunferencia centrada x^2+y^2+Dx+Ey+F=0, efectivamente, con los 3 puntos puedes sustituirlos en la ecuación general y resolver el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Sin embargo, un punto no ha sido tomado en cuenta: los 3 puntos que te da la máquina NO TIENEN POR QUE ESTAR EN UN PLANO PARALELO A UNO DE LOS PLANOS PRINCIPALES (xy, xz o yz), es decir, la circunferencia no tiene por que ser paralela a estos planos, por lo tanto, bajo tales circunstancias, lo anteriormente expuesto no aplica, al menos no directamente.
En una circunferencia, si tienes 3 puntos y los unes con cuerdas de 2 en 2, al trazar las mediatrices de las mismas, estas se crtarán en el centro de la circunferencia. Sin embargo, se presenta el mismo problema del caso anterior.
Por lo tanto, una manera de solucionar el problema sería trabajando con una rotación de los ejes de coordenadas, tal como se hace en geometría analítica para curvas cuadráticas que tengan el término xy, con la salvedad de que se deben considerar rotaciones en los 3 ejes. Francamente, no he trabajado con ecuacions de este tipo, pero las debe haber, o incluso las podría deducir, pero por aquí no te lo podría explicar por la imposibilidad de mostrarlo gráficamente. El punto es que se rotan los ejes @ un ángulo tal que el nuevo plano x'y' quede paralelo al plano en el que esta contenida la circunferencia, con las ecuaciones de la transformación dada por la rotación se calculan las coordenadas de los 3 puntos (x,y,z) en el nuevo sistema (x',y',z'), si colocaste el plano x'y' paralelo al del que contiene la circunferencia, la coordenada z' de los 3 puntos debe ser igual. Luego, tendríamos una cuación general de la forma x'^2+y'^2+D'x'+E'y+F'=0, se sustituyen los valores de x' e y' de los 3 puntos, determinando con el sistema de ecuaciones los valores de las constantes D', E' y F', se hace la completación del cuadrado para transformar la ecuación general de la forma x'^2+y'^2+D'x'+E'y+F'=0 a la forma (x'-h')^2+(y'-k')^2=r^2 (una simple completación del cuadrado, tanto para x' como para y'). Los valores de h' y k' corresponden al centro de la circunferencia en el plano x'y'. El valor de z' corresponderá al mismo que te dió para los 3 puntos. Si quieres las coordenadas del centro en el sistema (x,y,z), simplemente aplicas las ecuaciones de transformación, pero, claro esta, para regresar el cambio.
Finalmente, el radio, que es el parámetro que buscas, es el valor de r de la ecuación canónica hallada.
Espero haber sido de tu ayuda. Saludos y éxitos!!!.

Answer 5

Se supone que, si estas en el plano, vale todo lo que te han dicho aqui las chicas... Si tu maquina toma valores X, Y y Z, y son coplanares, puedes estimar la circunferencia que pase entre los tres puntos... pero lo mas probable es que no sean coplanares... necesitas un cuarto punto para estimar el radio de la esfera... saludos

Answer 6

Pues no es complicado, pero es talachudo, sobre todo en este formato. Mira, se toman tres puntos cualesquiera sobre la superficie. Sabemos k la ecuaciòn de la circunferencia es
AX²+BY²+C=0, donde C es una cte negativa igual al radio de la circunferencia, es decir:
X²+Y²=R²

De aquì, sabemos que cualquier punto que quiera estar dentro de la circunferencia, debe cumplir con esos requisitos, es deicr, que
AoX²+BoY²-C=0
Entonces, se sustituyen las coordenadas de cada punto en la ecuaciòn anterior, digamos:
A(X1)²+B(Y1)²-C=0
A(X2)²+B(Y2)²-C=0
A(X3)²+B(Y2)²-C=0

En donde las Xi Yi, las conoces, son las coordenadas que te dan, en este caso, si es una circunferencia, la coordenada Z es constante, por lo que no vale la pena meterla en las ecuaciones.

Entonces, tus incognitas son A, B y C. Tienes un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas, resuleves el sistema y ate va quedar algo asì

A=Ao
B=Bo
C=Co

los tres valores numericos. De aqui, sacas tu ecuacion de la circunferenica.

AoX²+BoY²-Co=0
AoX²+BoY²=Co

Si en realidad es una circunferencia, Ao=Bo, digamos Ao=Bo=k
y divides todo eso entre k

X²+Y²=Co/k

y por la definicion de circunferenica, Co/k=R²,
R=raiz cuadrada(Co/k)

que ya es un valor que conocemos, y pues el diametro es dos veces el radio, y ya.