prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers!!!!
2006-11-21 08:46:03 · 10 réponses · demandé par Anonymous dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Un vieux problème bien connu des grecs déjà
si ce n'était pas vrai: soit a,b,c...x l'ensemble fini de nombres premiers
le produit de ces nombres +1 est abc..x+1 et c'est:
soit un nombre premier plus grand que x
soit un nombre non premier non divisible par a,b,c... x donc le plus petit diviseur premier est plus grand que x
2006-11-21 08:57:11 · answer #1 · answered by Anonymous · 2⤊ 0⤋
Tu prends une certaine quantité de nombre premiers...
Tu les multiplies et tu ajoutes 1 au produit.
Evidemment, le nombre trouvé (appelons-le a) n'est multiple d'aucun des nombres premiers initialment choisis.
Première possibilité: a est un nombre premier, tu as trouvé un nombre premier différent de ceux du début
Deuxième possibilité: a n'est pas premier, auquel cas sa décomposition en facteurs premiers te donne de nouveaux nombres premiers différents des initiaux.
Tu peux répéter l'opération avec le ou les nombres premiers trouvé à partir de a et les initiaux, tu obtiens encore de nouveaux nombres premiers... Et ainsi de suite
Donc il y a une infinité de nombres premiers
2006-11-21 16:58:49 · answer #2 · answered by -O- 7 · 1⤊ 0⤋
Si n est un nombre entier quelconque plus grand que 2,alors n! +1 n'est divisible par aucun nombre entier compris entre 2 et n car la division de
n! + 1 par tout nombre entier compris entre 2 et n donne pour reste 1.Il y a donc deux possibilités:
-ou bien n!+1 est premier et comme il est plus grand que n,il y a donc un nombre premier plus grand que n
- ou bien n! +1 n'est pas premier mais alors il peut se décomposer en un produit de facteurs premiers qui sont tous supérieurs à n (sinon n!+1 serait divisible par un nombre compris entre 2 et n)
Dans tous les cas,il y a donc un nombre premier plus grand que n donc il y a une infinité de nombres premiers car n est quelconque.
2006-11-23 07:01:54 · answer #3 · answered by fouchtra48 7 · 0⤊ 0⤋
Cette question m'a offert le CAPES (concours de prof). J'ai su répondre et j'ai eu une bonne note...
Pour la démonstration, on peut raisonner par l'absurde en supposant que l'ensemble des nombres premiers est fini, puis en montrant qu'il existe au moins un nombre qui n'est divisible par aucun des éléments de cet ensemble. La somme du produit des élements de cet ensemble et de 1 est un exemple de nombre qui n'est divisible par aucun élément de l'ensemble.
2006-11-21 18:17:52 · answer #4 · answered by Sylver 6 · 0⤊ 0⤋
Tout à fait nana m, d'ailleurs comme il y a une infinité de nombres, comme 2 est un nombre, par suite j'en déduis qu'il y a une infinité de 2.
2006-11-21 17:58:21 · answer #5 · answered by divers789 2 · 1⤊ 1⤋
Euclide l'a parfaitement démontré.
On n'a pas fait mieux depuis...ni ici!
2006-11-21 17:44:15 · answer #6 · answered by kelbebe 4 · 0⤊ 0⤋
facile : il suffit de considerer le produit de tout ceux que tu as trouvé plus 1. (ou même n!+1) Ce nombre est premier avec tout ceux qui le précèdent (raisonnement par récurrence à formaliser en n'oubliant pas de préciser qu'il existe un nombre premier au départ)
Ex : 2 est premier. on vérifie facilement que 2 + 1 est premier avec 2 donc premier.
Ex2 : 2 et 3 sont premiers. On vérifie facilement que 2x3+1 = 7 est premier avec 2 et 3 donc premier (en effet, le reste de la division euclidienne de 7 par 2 est égal à 1 par construction...
2006-11-21 16:56:24 · answer #7 · answered by Anonymous · 1⤊ 1⤋
un livre que j'ai adoré mais qui faudrait que je relise, c'est "La partie et le tout" de Heisenberg,. Mais la réponse aux nombreux nombres premiers est pas dans ce bouquin je crois, au contraire!! En plus c'est plus de la physique que des maths...
2006-11-21 16:51:51 · answer #8 · answered by humourffin 2 · 0⤊ 1⤋
amuses toi à compter les nombres 1ers par tranches de 100, tu verras qu'il y a peut de variations dans la quantité trouvée (env. 15) et donc pour une infinité de nombre par tranche de 100 tu trouveras toujours des nombres premiers.
donc à nombres infinis tu trouveras nombre infinis de nombre 1ers même si la cardinalité est + petite.
2006-11-21 16:56:45 · answer #9 · answered by anakin s 1 · 0⤊ 3⤋
les nombres premiers se divisent par 1 et par eux même et comme on a une infinité des nombres ,et les nombres premiers font partie de tous les nombres par suite on a une infinité des nombres premiers!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2006-11-21 17:03:53 · answer #10 · answered by nana m 2 · 0⤊ 4⤋