Bitte mit Beweis...viel Spaß dabei
2006-11-21 08:20:37 · 37 antworten · gefragt von jameaglekr 1 in Wissenschaft & Mathematik ➔ Mathematik
Zuerst einmal: Ich bin schreibfaul, deswegen werde ich statt Periode Punkte schreiben *g*
0.99.... = 1!!
Jetzt erst mal der Beweis:
Wenn:
(1) a = 0.999.....
dann gilt
(2) 10a = 9.99.....
daraus folgt:
(2)-(1) 9a = 9
und dann sieht jeder das
1 = a = 0.999.....
Das Verfahren, das ich hier angewendet habe, ist Standart um Periodische Zahlen in Brüche umzuwandeln, wer ihm nicht traut kann es ja mal mit 0.333... ausprobieren.
Der "Beweis" das
1-0.999... = e
und e > 0
und damit 0.999... < 1
hakt an der stelle, das e > 0 ist. Diese Behauptung kann nicht einfach so aufgestellt werden, denn es gibt kein e, das diese Bedingung erfüllt. Lasst es mich mal so ausdrücken:
Um eine Zahl e zu bekommen werde ich einfach die Dezimalschreibweise anders benutzten:
e = 1 * 10^(-n)
wobei n die Stelle hinter dem Koma ist. Lassen wir nun n immer größer werden um ein e zu finden, das die obige Behauptung erfüllt:
Bei n = 10000 -> Noch nicht erfüllt,
Bei n = 100000000000 -> Noch nicht erfüllt,
bei n = 10^1000000 -> Noch nicht erfüllt.
Das Problem ist, das die Zahl unendlich weitergeht, das heißt ich müsste in der unendlichsten Stelle eine 1 haben. Damit kann ich schreiben:
e = limes von n gegen unendlich von 10^-n.
( Den Limes hab ich hier benutzt, da wir ja nicht durch unendlich teilen können, sondern nur den Grenzwert benutzten.)
Damit bekommen wir
e = 0
und haben damit obige Beweisführung widerlegt, da 0 nicht größer ist als 0.
Das Problem, an dem viele scheitern, die sagen das 0.999... kleiner als 1 ist, ist die Unendlichkeit der Periodizität
2006-11-21 18:34:59 · answer #1 · answered by Anonymous · 4⤊ 2⤋
Meiner Meinung nach lässt sich der beweis auch dadurch bringen, dass
(1) 1 : 3 = 0.3(periode)
den selben wert ergibt, wie
(2) 0.9(periode) : 3 = 0.3(periode)
In den grundlegenden Theoremen der Mathematik gibt es nen Satz, der besagt, dass zwei Größen, die einer dritten gleich sind, auch untereinander gleich sind. Daher folgt aus (1) und (2)
(3) 1:3 = 0.9(periode) : 3
Diese Gleichung kann auf beiden Seiten durch drei geteilt werden und es bleibt:
(4) 1 = 0.9(periode)
Das Ganze hat etwas mit den Grenzwertsätzen der Mathematik zu tun. Theoretisch sind periodische Zahlen ja gar nicht darstellbar, weshalb man sich dre Periodizität bedient. Ein Mathematiker würde niemals die Darstellung 0.3(periode) wählen, da sie ungenau ist. Sie ist ín den Rahmen ungenau, wie sie von dem exakten Wert 1/3 abweicht. Periodische Zahlen sind lediglich "Hilfsdarstellungen", die das Verständnis für Nichtmathematiker erleichtern.
2006-11-21 21:20:57 · answer #2 · answered by Anonymous · 2⤊ 0⤋
BOAHHH!
Voll das "Aufregerthema"!
0,9 mit dem Strich über der Neun ist definitiv gleich eins.Punkt!
Der Beweis stand in einer der letzten Spektrum der Wissenschaft Specials, ich hab ihn nicht auswändig gelernt..:-)
Grüße, Andreas!
2006-11-21 10:44:16 · answer #3 · answered by pttler2 5 · 3⤊ 1⤋
0,9999... ist gleich 1
Hört sich komisch an, ist aber so. Unser Mathelehrer hat das mal vorgerechnet, weiss aber nicht mehr, wie das war. War in der 8 Klasse oder so. An alle, die hier mit MATHE-LK auftrumpfen wollen... : PEINLICH!
2006-11-21 09:49:46 · answer #4 · answered by der_pferd_horst 4 · 3⤊ 1⤋
Ich bin etwas verwundert über die vielen Antworten OHNE einen Bezug zu Wikipedia zu finden.
Wenn du eine Zahl mit Periode schreibst, dann hast du die Zahl falsch geschrieben! 0,9 (periode) hättest du dann schreiben müssen! Nur wenn eine Periode aus mehreren Zahlen besteht werden diese geschrieben. So viel zur Schreibweise.
Bis hier war es meine Aussage! Nun aber:
Der Limes- oder Grenzwert-Begriff der Analysis erlaubt eine exakte Definition von periodischen Dezimalbrüchen. So gilt beispielsweise: ...... u s w.
Eine besondere Eigenschaft bei der Dezimalbruchentwicklung ist, dass eine rationale Zahl zwei unterschiedliche Dezimalbruchentwicklungen besitzen kann. Wie oben beschrieben, kann man den Wert von 0,999999... zu 9/9 berechnen. Damit erhält man die zunächst überraschende Aussage
0,9 (periode) = 1
Für mehr Informationen siehe Link:
2006-11-21 09:08:50 · answer #5 · answered by Peter 2 · 3⤊ 1⤋
0,9 "Periode" ist gleich Eins. Denn die Differenz zu Eins ist Null. Man kann den Beweis durch Widerspruch führen. Angenommen, die Differenz von Eins und 0,9 "Periode" sei größer als Null. Dann ist diese Differenz selber als Dezimalzahl darstellbar, und wenn du diese Dezimalzahl von Eins abziehst, bekommst du auf keinen Fall ein Ergebnis, das nur Neunen enthält. Die Periode wäre also durchbrochen. Daher kann die Differenz nicht größer als Null sein. Wenn die Differenz aber gleich Null ist, dann sind die beiden Zahlen identisch.
2006-11-21 08:39:31 · answer #6 · answered by NaturalBornKieler 7 · 3⤊ 1⤋
1/3 = 0,333333333333333333333333333333333...
2/3 = 2 x 0,3333333333333333333333333333333...
= 0,66666666666666666666666666666666666...
1/3+2/3 = 0,999...= 3/3 = 1
Alle die was Gegenteiliges sagen, sollen mir bitte mal kurz ausrechnen, was 1 - 0,9999999.... ist....
http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalzahl#Besondere_Eigenschaft_der_Dezimalbruchentwicklung
2006-11-21 08:33:25 · answer #7 · answered by quatronuevo 6 · 3⤊ 1⤋
Ist doch ganz klar:
jede Periode kann man auch als Bruch ausdrücken:
0,333333 =1/3=3/9
0,111111 = 1/9
0,555555 = 5/9
0,777777 =7/9
0,888888 =8/9
0,999999 =9/9 = 1
qed.
Daher ist 0,99999 (Periode) gleich 1!!!
noch Fragen?
@Bernd E: Ich war auch im Matheleistungskurs...
Ich habe das aber so gelernt. 9/9 ist nunmal 1!
2006-11-21 08:27:19 · answer #8 · answered by 2Bios 2 · 7⤊ 5⤋
es ist das geliche
Mathematische ansätze gabs ja schon genug dazu
die behauptung es sein kleiner als eins rührt nur von der mangelnden menschlichen Vorstellungskraft her, und dem problem sich die Unendlichkeit vorzustellen
mathematisch und auch aus sonstiger "logischer" Betrachtung ist 0,999999 und 1 das selbe
2006-11-22 23:32:05 · answer #9 · answered by Anonymous · 1⤊ 0⤋
0,9999... ist gleich 1, da man alle Zahlen als Bruch definieren kann, d.h. 9/9 -> 1.
2006-11-21 10:37:20 · answer #10 · answered by IdP 2 · 3⤊ 2⤋