Algèbre et Toplogie: existe-t-il des multiples de PI aussi proches que l'on veut d'un entier?

Question

Autrement dit: suis-je sûr, par exemple, de trouver un entier tel qu'il existe un multiple de PI à moins d'un millionième de cet entier?

Je Précise: d'un entier NON NUL

Answer 1

Oui, on le démontre en étudiant le sous-groupe de R engendré par 1 et Pi, sachant que les sous-groupes additifs de R sont ou de la forme aZ pour a réel ou denses dans R.

Answer 2

Oui, en utilisant la formule de Leibniz :

PI/4=1/1-1/3+1/5-1/7+
....+(-1)^k/(2k+1)+...

C'est une série alternée, le résidu est donc inférieur au premier terme négligé, soit au rang k, 4/(2k+3), en multipliant par 4 l'égalité.

C'est un peu bourrin, mais en prenant k égal à deux millions, tu as ton résultat en multipliant PI par le produit des chiffres impairs de 1 à (2k+1).

Et en plus, je découvre que c'est Leibniz qui a démontré le premier le théorème des séries alternées.

Pas beau ?

En plus, tu peux trouver des multiples de PI qui sont plus grand ou plus petit de moins d'un millionième au choix.

Pas besoin de taupe au logis ;)

Answer 3

Je ne résouds pas complètement la question, mais je te donne des pistes : ton problème n'est pas posé avec assez d'informations, car il dépend de l' ensemble dans lequel tu prends les multiplicateurs. Si tu les prends dans les nombres réels, il y en a une infinité, quel que soit l'entier choisi : pour n'importe quel entier N, le facteur réel z=N/pi donne comme multiple de pi exactement N.
Si tu les prends dans les entiers, c'est plus tordu : Il existe plusieurs série de fractions continues qui convergent vers pi (cf lien 1 & 2) , donc il y a toujours i assez élevé pour avoir N(i)/D(i)-pi
Je ne sais pas aller plus loin (pas le temps ni la souplesse résiduelle mathématique nécessaire) . Je t'abandonne lâchement en court de route, mais un autre plus profondément matheux prendra peut-être la relève, ou toi même avec les innombrables références du lien 1.

lien 1 : site qui ne donne pas les suites, mais la référence à des travaux qui les utilisent; je n'ai pas fouillé plus:
http://www.unilim.fr/laco/rencontres/1999-borwein/borwein.html

lien 2 : site qui donne un document à télécharger, assez scolaire au début, mais où une fraction continue qui donne 4/pi figure pages 45 & suivantes :
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/Fiches/Brezinski2.html

Answer 4

De façon équivalente ta question signifie qu'on peut trouver dans les chiffres du nombre Pi (en écriture décimale par exemple) un nombre arbitraire de zéros contigus.
Ce qui a la réputation d'être vrai.

Answer 5

pi est un réel transcendant, c'est à dire non rationnel. Cela ne facilite pas les choses.
A mon avis, le produit de pi par un nombre entier sera toujours compris entre deux entiers qui minoreront ou majoreront ce produit.
Quant à s'approcher aussi près que l'on veut, je ne vois pas comment faire, puisque pi ne peut être représenté qu'approximativement par un nombre rationnel.
Si vous connaissez déjà la réponse, proposez nous la!!

Answer 6

La répons est oui pour tout nombre tansendant

Answer 7

Bonne chance !

Answer 8

le cercle est un élastique, avec quatre punaises tu fais un carré
c'est çà le secret de la quadrature, alors 3,14 çà devient moins réaliste.

Answer 9

En gros la question revient a comparer kPi et N l'ensemble des naturels. Moi je prends un exemple, 1 c'est impossible de trouver k tel que kPI soit proche de 1. Donc cela prouve que c'est impossible en général.