aidez moi si ABC EST EQUILATERAL ALORS a*a+b*b+c*c=a*c+b*c+b*a avec A(a),B(b),C(c)?

Answer 1

Si ABC est équilatéral alors (a-b)/(a-c)=exp(i.pi/3) ou exp(-i.pi/3).
L'idée est alors d'élever au cube.
On obtient: (a-b)^3-(c-a)^3=0 (1)
On utilise la formule: X^3-Y^3 = (X-Y).(X²+YX+Y²)
Puisque a-b et c-a sont différents, on peut simplifier l'équation (1):
(a-b)² + (a-b).(c-a) + (c-a)² = 0
On développe:
a² - 2ab + b² + ac - bc -a² + ab + c² - 2ac + a² = 0
a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0
Et voilà le travail...
PS pour les boulets qui sortent a=b=c: ce sont les affixes des points pas les longueurs des côtés!!!

PS 2: l'idée d'Eric fonctionne mais la démo est un peu plus compliquée:
- on n'échappe pas à la discussion entre triangle direct et triangle indirect (i.e. la position des sommets B et C inversée) mais vu que l'expression est symétrique, ce n'est pas un problème insurmontable;
- le vrai souci, c'est qu'il faut introduire l'affixe de G, et écrire: a=g+k, etc. Heureusement ça fonctionne car les termes en "g.k" vont tous se simplifier (la somme des racines cubiques de l'unité est nulle).

Answer 2

le + simple est peut-être de prendre un repère complexe centré au centre de gravité tel que :

Pour le Point A : a=k
Pour le Point B : b=k*exp(2*i*Pi/3)
Pour le Point C : d=k*exp(-2*i*Pi/3)

donc a²+b²+c²=k² * (1 + 2*cos(2Pi/3))
et a*c+b*c+b*a=k² * (1+2*cos(2Pi/3))

ce qui nous donne que a²+b²+c²=a*c+b*c+b*a

tchao

PS bien sur que a=b=c est faux, a,b,c sont les affixes complexes des points...

PS2 : C'est vrai j'ai oublié de noter que l'on peut inverser les points B et C. Ceci ne change pas grand chose à la démo puisque le problème est symétrique comme tu le dis italixy.
Par contre je n'introduis pas l'affixe du point G car je prend comme origine du repère ce point G. et si la démo marche dans un repère il marche aussi pour un autre repère quelconque.

Answer 3

réfléchi 5 minutes. La réponse est dans l'énoncé...
ABC équilatéral implique que a=b=c donc c'est trivial!

Answer 4

de toute facon si il es equilatéral

a=b=c=l

alors ca vaut 3*l^2 des deux côtés

Answer 5

ben oui je pense

Answer 6

ah on a le droit de s'entraider pour les devoirs ici ? ah cest bien ca ... dsl chepa pour ton bleme

Answer 7

les maths c'est pas ma grande passion

Answer 8

Si ABC est équilatéral, t'as pas a=b=c ???

C'est pas un site d'aide au devoir quand même!!

Answer 9

Oui sans doute

Answer 10

Non ! Tu aimes te créer des problèmes ? Assumes-les !