Trouvez un couple ( a;b ) d'entiers strictement positifs vérifiant les conditions:
1) le produit ab(a+b) n'est pas divisible par 7;
2) (a+b)^7 - a^7 - b^7 est divisible par 7^7.
La justification est optionnelle, mais toujours la bienvenue !
P.S: (a^n = a à la puissance n)
2006-11-17 11:20:46 · 6 réponses · demandé par Syn- 2 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Un peu de gymnastique algébrique, de volonté et de "on peut surement arriver à quelque chose sinon le problème se résoudrait pas" permettent de se rendre compte qu'on peut écrire:
(a+b)^7 - a^7 - b^7 = 7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2
Compte tenu des conditions, on trouve donc que (a^2+ab+b^2)^2 est divisible par 7^6, soit encore que
a^2+ab+b^2 = n*7^3, avec n un nombre entier positif. En résolvant l'équation du second degré en a, le problème se réécrit alors :
"trouver b et n deux entiers positifs tels que
a= -b/2 + racine(4*7^3*n - 3b^2)/2
= -b/2 + racine(1372*n - 3b^2)/2
soit un entier positif, et tels que a, b et (a+b) ne soient pas divisibles par 7"
Avec n=1, les seules solutions sont (a,b) = (1,18) ou (18,1).
Avec n =c^2, où c est un entier positif, les seules solutions seront donc les couples de la forme (c,18*c) et (18*c,c).
Est-ce qu'il y a des solutions quand n n'est pas un carré? Je n'en ai pas trouvé, pte que oui, pte que non, pte que ça se trouve mais j'en ai déjà fait pas mal, me suis bien amusé et là c'est l'heure du dodo...
2006-11-17 13:54:49 · answer #1 · answered by Anonymous · 3⤊ 0⤋
a=1
b=18
2006-11-17 12:29:12 · answer #2 · answered by figuig 3 · 0⤊ 0⤋
A=1
B=48
C= je suis nul en math
2006-11-17 11:38:28 · answer #3 · answered by BOU 2 · 1⤊ 1⤋
J'ai toujours été nulle en maths !
2006-11-17 11:41:28 · answer #4 · answered by ptit.chou 7 · 0⤊ 1⤋
laisse moi digérer le beaujolais d'hier, merci
2006-11-17 11:37:17 · answer #5 · answered by Mont d'or 5 · 0⤊ 1⤋
Qui penses-tu que de telles questions puissent intéresser ?
on est ici pour s'muser, pas pour faire des devoirs ...
même pour 10 points ...
A+
2006-11-17 11:27:22 · answer #6 · answered by amicalementvotre.claude 7 · 1⤊ 2⤋