¿Existe alguna fórmula para calcular el area de un polígono regular de N lados con perímetro P?

Question

Dado un perímetro constante, el area que puede abarcarse con dicho perímetro formando polígonos regulares de N lados donde N >= 3, se incrementa hasta alcanzar su límite superior en el caso del círculo.

El resultado para el círculo es A = P^2 / (4*Pi), que equivale a 0.0796 * P^2.

¿Hay alguna ecuación que describa el comportamiento para un polígono de N lados?

Gracias!

Ignacio

Answer 1

Para resolverlo hay que utilizar trigonometría, y da la fórmula general:

A = (P^2)/(4·N·tang(Pi/N))

Con P^2=P·P donde P es el perímetro, N el número de lados y Pi=3,14159....
Llamemos L a la longitud de cada uno de los lados, y por tanto el perímetro P = N·L
Cualquier polígono regular de N lados con N>=3 se puede descomponer en N triángulos isósceles de lado base L y altura h que trazando una nueva recta perpendicular al centro de cada lado (igual a la altura h) lo divide a su vez en 2N triángulos rectángulos de catetos h y L/2. Observemos por otro lado, que el ángulo menor de este triángulo (llamémoslo a) es el de la circunferencia total (2·Pi radianes) dividido entre 2·N, es decir

a = 2.Pi/2·N = Pi/N

El lado L lo determinamos a partir del perímetro como L = P/N
El área del polígono será la suma del área de todos los triángulos rectángulos. El área de cada uno de estos triángulos rectángulos es la mitad de la base por la altura, es decir (L/2)·h/2 = L·h/4. El área total será 2N veces lo anterior: A = 2·N·L·h/4 = N·L·h/2 y sustituyendo L por el valor P/N nos queda que:

A = P·h/2 ,

nos quedaría, pues, determinar h, y aquí es donde utilizamos la trigonometría.
h es uno de los dos catetos de ese triángulo rectángulo que guarda la relación respecto al ángulo a de cateto opuesto dividido entre cateto contíguo igual a la tangente :

(L/2)/h = tang(a) = tang(Pi/N),

despejo h y sustituyo L por P/N:

h = P/(2N·tang(Pi/N))

que sustituyendo en A nos da que el area es:

A = (P^2)/(4·N·tang(Pi/N))


Despejar de aquí la fórmula del área de la circúnferencia a partir de su perímetro P=2·Pi·R no es trivial, ya que habría que hacer que N fuera infinito (infinitos lados) y habría que aplicar límites cuando N tiende a infinito al producto N·tang(Pi/N) y comprobar que este valor da Pi. Para esto se puede aplicar por ejemplo la regla de l'Hopital.

Answer 2

A = (Perímetro . apotema) / 2
siendo el perímetro igual a n.medide del lado (n = nº de lados)

Answer 3

no manches el baldor lo deje en la casa......

Answer 4

PI*R^2

CIRCULO: figura geométrica que se compone de N lados y una apotema denominada radio

Answer 5

Es conocido el siguiente resultado

A = perímetro * apotema / 2

en donde el apotema es la medida que tiene un rayo que parte del centro y se proyecta en forma perpendicular hacia uno de sus lados (algo así como un "radio", pero no del centro hacia un vértice, sino del centro al punto medio de cualquiera de los lados)

Answer 6

ACERCA DE LA INVALIDEZ DE LA FORMULA CONOCIDA PARA CALCULAR AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES: A= pap/2 (PERÍMETRO POR APOTEMA SOBRE DOS) Para demostrar la invalidez de la fórmula partiremos del procedimiento habitual, utilizado por el docente, para la enseñanza de la fórmula A=pap/2; que se aplica, comúnmente, a partir del pentágono, dejando a un lado el triángulo equilátero y el cuadrado que, como figuras regulares, deben cumplir con la mencionada fórmula. El procedimiento consta de los siguientes pasos: 1. Dividir el polígono en tantos triángulos isósceles iguales, con vértices comunes con el centro de la figura, como lados tenga el polígono. 2. Realizar una analogía entre las alturas de los triángulos con la apotema (ap) del polígono. 3. Calcular el área de uno de éstos triángulos, tomando como base el lado del polígono. 4. Multiplicar el área por el número de triángulos. 5. Operar convenientemente y concluir: A=pap/2, donde p es el perímetro del polígono y ap la apotema. 6. Realizar ejercicios (se dice de que polígono regular se trata -siempre a partir del pentágono-, se da una longitud cualquiera para el lado, otra cualquiera para la apotema y se aplica la fórmula conocida. Se repite tantas veces como sea necesario). De acuerdo al último paso, podemos calcular el área de un hexágono regular cuyas longitudes de la base y de la apotema son 2u y u, respectivamente. Aplicando la fórmula, procedemos a nuestros cálculos y concluimos que el área del hexágono dado es 6 u2. Ahora bien, si construimos seis triángulos isósceles (de base 2u y altura u) y seguidamente tratamos armar un hexágono regular con esos triángulos, veremos que es imposible. NO PODREMOS ARMAR HEXAGONO REGULAR ALGUNO. Una manera sencilla de visualizar lo que ocurre, en general, es la siguiente: Suponemos un hexágono regular de apotema ap y lado l, como el de la izquierda, donde se han destacado los triángulos equiláteros que lo componen y cuyas dimensiones son: l de base y ap de altura. Si construimos triángulos de base l y altura ap/2, por supuesto que no serán equiláteros y con seis de ellos no se armará hexágono alguno. A lo sumo se obtendrá una figura como la que se muestra a la derecha. Luego, algo falla. Esta falla consiste en que - al igual que el triángulo equilátero y el cuadrado- en cualquier polígono regular: la apotema depende del lado ó el lado de la apotema, por lo que sus magnitudes, entre sí, no son independientes sino dependientes. De allí se desprende que no es correcto dar cualquier par de magnitudes para el lado y la apotema del polígono regular; cuestión que está permitida por la fórmula al presentar estas dos variables como independientes. Entonces, podemos concluir que la fórmula conocida para calcular el área de los polígonos regulares, tal como está: no es válida; porque incluye en su expresión el producto de dos variables interdependientes que son tratadas como independientes.

Answer 7

NO SE YO SOY DEL NANCHE