Maldito generador eléctrico!!, me ayudan?

Question

Un generador eléctrico produce una corriente alterna de 50 Hz (Hertz) dada por:

i(t)=30sen[100.pi (t - 7/36)]

donde i(t) es la corriente medida en amperes, en t segundos. Halle el valor positivo más pequeño de t para que la corriente sea de 15 amperes.

Se agradece cualquier ayuda o pista de cómo se hace ^^

Answer 1

i(t)= 15
15= 30. sen (100. pi . (t- 7/36))
15/30 = sen (100. pi . (t- 7/36))
0,5 = sen (100. pi . (t- 7/36))

pero sabemos por tabla de seno (medido en radianes), que:
sen (pi/6) = 0,5
con lo cual
(100.pi).(t-7/36) = pi / 6
(t-7/36)= pi / (6.100.pi)

pi se cancela y queda
(t-7/36)= 1/600
t = 1/600 + 7/36

sumando terminos = (36+4200) / 21600
t = 4236/21600 seg = 0,19 segundos (redondeando)

Answer 2

Es menos simple de lo que parecía... te voy a dar una solución no muy elegante. Anticipo que t= 0.00278 segundos

Debemos considerar t>0 (y no valores que indicarían que ese instante ocurrió antes del instante cero).

En la ecuación dada, 30 es la amplitud, o sea que la corriente pico es 30A (cuando el seno del corchete da 1). De ello despejas:

15A/30A = 1/2 = sen [100.¶ (t - 7/36)] =>
=> 100 ¶ (t-7/36) = ¶/6+2k¶ ó 5¶/6+2k¶

en que k indica un número de ciclos cualquiera dando ángulos congruentes (k es entero, positivo o negativo).

Tomar ¶/6, el menor ángulo positivo, no nos da el menor valor de t sino uno posible, pero resulta ser el menor valor de t que supera a t=7/36 segundos y da una corriente de 15A.

En esto está la clave: el -7/36 hace que para t=0 el argumento entre corchetes sea negativo y el tiempo haya comenzado a correr 7/36 segundos antes. En ese lapso, la corriente pasó por cero varias veces ya que basta que el ángulo del corchete sea congruente con 0 o 2¶ para ello, y todo ángulo -2k¶ lo es.

Si parto de:
100 ¶ (t-7/36) = ¶/6

Simplificando:
100 (t-7/36) = 1/6
t -7/36 = 1/600
t = 1/600+7/36= 0.19611 segundos

El ciclo tiene un período de T = (1/50) seg = 1/frecuencia(Hz) por lo que ya transcurrieron:
n = 0.19611/(1/50) = 9.806 ciclos

El valor de t buscado, congruente con este ángulo, será el correspondiente a 9 ciclos antes, o sea 0.806 T = 0.806*(1/50) seg = 0.01611 seg (1)

Ahora analizo:
100 ¶ (t-7/36) = 5¶/6
100 (t-7/36) = 5/6
t = 5/600-7/36 = 0.20278

Pero caben 0.20278 / 0.02 = 10.1389 períodos o ciclos

El valor de t buscado, congruente con este ángulo, será el correspondiente a 10 ciclos antes, o sea 0.1389 T = 0.1389*(1/50) seg = 0.00278 seg (2)

Puesto que (2) es un tiempo menor que (1) este es el mínimo tiempo (positivo) que da corriente instantánea 15A.

Respuesta: t=0.00278 segundos

Aclaración: el dato de los 50Hz ya fue usado en la ecuación ya que el 100 sale de hacer 2¶*frecuencia = 2*50*¶ = 100¶.

Saludos..

pd. la sugerencia de hacerlo en excel es buena, pero se debe hacer con saltos menores que lo que han sugerido, por ejemplo de a delta t = 0.00001 seg (total el copiado de fórmula es facilísimo y rápido) y se verifica este valor, siendo que empieza en cero seg con un valor del seno del ángulo de 0.9837 y decrece hasta 0.5 en los 0.00278 segundos indicados.

Answer 3

Bueno, te digo que la respuesta está en 7,8 segundos.

Pero, como dijo Jack el Destripador, "vamos por partes".

i(t) = 30 x seno (100 x Pi (t - 7/36))

Si reemplazamos t por 7,8 segundos, queda i(t) = 15 A

Te conviene hacer una tabla en excel, poniendo una columna con los valores de t, variando de a 0,1 s y otra columna con (30 x seno (100 x Pi (t-7/36))

De esa forma verás que cuando en la primera columna t = 7,8 s;
en la segunda queda 15 A

Answer 4

Repasa en matemáticas Máximos y Minimos ... Ahí está la solución.