Enigme pas facile?

Question

J'ai un champ circulaire de rayon 1. Le point A est un point du cercle délimitant ce champ.
Je souhaite découper mon champ pour en former 2. Le 2° champ est délimité par un cercle de centre A.

Quelle est la longueur du rayon du 2° cercle pour avoir les deux champs égaux?

les deux champs égaux en surface

je découpe le 1° champ par un arc de cercle centré sur A. La question est quel est le rayon de cet arc. La réponse ne peut pas être 0.5 (visuellement r compris entre 1 et 2... )

Answer 1

Etape 1 : Définition des variables du problème

C1 : cercle de centre O et de rayon r=1
A : point de C1 (sur un schéma on prendra A "à gauche de O")C2 : cercle de centre A et de rayon R
M : intersection entre C1 et C2 (on prendra M au dessus de (AO))
N : intersection entre C1 et C2 (N est dessous M)
P : milieu de MN
d = longueur MN
a : angle OAM
b : angle AOM
AR : aire de la partie de C2 soustendu par d
Ar : aire de la partie de C1 soustendu par d

On voit déjà facilement que r
Etape 2 : Relations entre ces variables

On peut définir les 3 relation suivantes :
1) angle a : d = 2 R sin(a)
2) angle b : d = 2 r sin(b)
3) A est sur C1 : AP+PO=r ou R cos(a) + r cos(b) = r

De 1) et 2) on obtient : r sin(b) = R sin(a)

De 3) on obtient : r sin(b) cos(a) / sin(a) + r cos(b) = r
donc : sin(a) = sin(b) cos(a)+sin(a)cos(b)=sin(a+b)
soit 2a = pi - b (car b dans [0,pi/2] et a dans [pi/4;pi/2])

Etape 3 : calcul des aires

AR = aire du secteur d'angle 2a - aire du triangle AMN
AR = 2a / (2pi) * pi * R² - 1/2 d R cos(a)
AR = a R² - R² sin(a) cos(a)
AR = a r² sin²(2a)/sin²(a) - r² cos(a) sin²(2a)/sin(a)

Ar = aire du secteur d'angle 2b - aire du triangle OMN
Ar = 2b/ (2pi) * pi r² - 1/2 d r cos(b)
Ar = b r² - r² sin(b) cos(b)
Ar = (pi - 2a) r² + r² sin(2a) cos(2a)

Etape 4 : Mise en équation du problème

On veut Ar+AR = 1/2 Aire du cercle C1 = 1/2 pi r²

Soit : pi/2=(pi-2a)+sin(2a) cos(2a)+a sin²(2a)/sin²(a) - cos(a) sin²(2a)/sin(a)
ou 0 =pi/2-2a+sin(2a) cos(2a)+a sin²(2a)/sin²(a) - cos(a) sin²(2a)/sin(a)

Etape 5 : Résolution

La résolution de cette équation n'a pas l'air simple !!! je m'en remets donc à Excell pour trouver la solution de a qui va bien.

On trouve a = 0,95 (a= 54,5°)

Donc R = 1,1587 r. Pour r=1, R = 1,1587

Ouf... C'est un peu long comme question (enfin comme réponse !!!).

Answer 2

c'est tres bien expliqué ici, les calculs ne sont pas monstrueux, par contre je doute qu'on puisse trouver une valeur exacte. On aboutit a une equation d'inconnue (angle BAC) ou B et C sont les points d'intersection des deux cercles.
On peut la resoudre numériquement tres facilement.

http://serge.mehl.free.fr/exos/chevre_poincar.html#rep

Answer 3

c'est le fameux problème de la chèvre, qu'on peut trouver sur le net. Calculs monstrueux, qu'il est hors de question de reproduire ici.

Answer 4

Il faut dire "les deux champs d'aire égale" !
On peut déjà dire sans calcul que le rayon du 2ème cercle est compris strictement entre 1 et 2. (autour de 1,3 environ à vue de nez !)
Aide : chercher dans google "aire d'une lunule"

Answer 5

Bonjour,
la réponse est clairement pas 0,5. Elle se situe entre 1 et 2.
Voici comment je ferais pour la trouver :
Cercle 1 : centre = C1 (0;0), rayon=1
Cercle 2 : centre = C2 (1;0), rayon=r
les intersections entre Cercle1 et Cercle2 seront nomées I1 et I2.
L'intersection entre ces deux cercles est une surface complexe délimitée par deux arcs de cercle de rayon différent.
Pour simplifier, on peut la découper en deux par la droite passant par I1 et I2.
Ensuite, le problème est de connaître l'aire d'une surface délimitée par un arc de cercle et une droite.
Cette surface est la surface d'un secteur de disque, moins la surface du triangle (C1 b c).
Pour trouver les coordonnées de I1 et I2 en fonction de r, on a un système de deux équations à deux inconnues. Ensuite, deux formules de trigo pour trouver l'angle I1 C2 I2, et on a toutes les données pour calculer les aires du secteur de disque et du triangle.
Voilà, sans graphique, c'est un peu compliqué à expliquer, mais je pense que ça le fait.

Sinon, on trouve sur wikipedia la formule toute faite de l'aire d'un segment circulaire sous-tendu par un angle α, mais c'est moins rigolo (utile pour vérifier)

Answer 6

0.5

Answer 7

Multiplie le tout par zéro tu ne te fera plus de soucis...

Answer 8

OK, il s'agit de calculer la fonction corrélation pour les deux cercles. En notant R le rayon du cercle de centre A on a 2 cas si R<1 et si R>1. Je ne pense pas que le cas R>1 soit possible car j'ai pas envie de calculer, je l'ai vu sur le dessin... pour le cas R<1, il faut résoudre l'équation suivante (je l'ai résolu mais je suis supra crevé alors si j'ai faux, tant pis...):
2arcos(1-R/2)-2(sqrt(R-R^2/4))*(1-R/2)=pi/2
En tout cas cette équation montre que 0,5857864376

Answer 9

0.5
il suffit de résoudre l'équation traduisant l'égalité des 2 aires.
Rappel : A=pi*r²