Cual es el ultimo digito de... ?

Question

Le doy los diez puntos al que me diga cual es el ultimo digito de esta MULTIPLICACION, y como lo obtuvieron.

(1^(1^1)) (2^(2^2)) (3^(3^3)) (4^(4^4)) (5^(5^5)) (6^(6^6)) (7^(7^7)) (8^(8^8)) (9^(9^9))

Al referirme a y^(y^y) significa y a la (y a la y). Por ejemplo 2^(2^2) significa 2 a la (2 a la 2) que seria 2^4, lo cual es 16.

^ (potencia o exponente) NO es igual al signo de ('por' o x o *)

Answer 1

Ok. 1^(1^1) es 1^1, osea, 1
2^(2^2) es 2^4, osea, 16 (termina en 6)
Ahora, para resolver 3^(3^3), es equivalente @ hallar 3^27, eso sería
3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3, osea
9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 3, que es
81 * 81 * 81 * 81 * 81 * 81 * 27, de donde vemos que es equivalente @ 81^6*27, donde 81^6 termina en 1, al multiplicarlo por 27 (que termina en 7), el resultedo terminará en 7.
Tenemos hasta los momentos las potencias del 1, 2 y 3, que terminan respectivamente en 1, 6 y 7, por lo tanto, el producto de estas 3 potencias terminará en 1*6*7, osea, como es 42, terminará en 2.
Falta la parte del 4.
En este caso, tenemos 4^(4^4), osea, 4^256. Podemos reescribirlo como 4^(2*128), que sería (4^2)^128, por medio de la potencia de potencias, recordando que (a^b)^c = a^(b*c), luego, nos queda 16^128.
Haciendo lo mismo, tenemos 16^(2*64), osea, (16^2)^64, que es 256^64.
Del mismo modo, es igual @ 256^(2*32), osea, (256^2)^32, que es 65536^32.
Tenemos 65536^(2*16), osea, (65536^2)^16, que es 4294967296^16.
Una vez más, nos queda 4294967296^(2*8), que es (4294967296^2)8, osea, 18446744073709551616^8.
De aquí en adelante, el resultado exacto no nos interesa. Fácilmente se puede determinar que la expresión 18446744073709551616^8 se obtiene elevando el número 18446744073709551616 al cuadrado, luego elevando el resultado al cuadrado y elevando una vez más el nuevo resultado a la 2, con ello lo único q hace falta es verificar en q cifra termina cada uno de los resultados, es la cifra en q termina este cuadrado la q nos interesa. De todos modos, acabo de fijarme que eso no es necesario tampoco, pues si nos fijamos bien, vemos que los resultados obtenidos hasta ahora terminan en 6, pues provienen de elevar al cuadrado un número q termine en 6: el resultado de esta parte termina, por lo tanto, en 6. Finalmente, dado que la expresión 1^(1^1)*2^(2^2)*3^(3^3) termina en 2, al multiplicar por la expresión 4^(4^4), que termina en 6, el resultado terminará en lo que termine 2*6 (12), que termina en 2, por lo tanto, se concluye que la expresión
1^(1^1)*2^(2^2)*3^(3^3)*4^(4^4) terminará en 2.

@ modo adicional: si consideramos que multiplicamos por la expresión 5^(5^5), en q cifra debe terminar el resultado?. Consideremos que la expresión 5^(5^5) es una potencia de 5 (para ser exactos, 5^3125), y toda potencia de 5 termina en 5, por lo tanto, al multiplicar la expresión 1^(1^1)*2^(2^2)*3^(3^3)*4^(4^4), que termina en 2, por la expresión 5^(5^5), que termina en 5, el resultado terminará en 2*5=10 (termina en 0), por lo que la expresión
1^(1^1)*2^(2^2)*3^(3^3)*4^(4^4)*5^(5^5) terminará en 0.
De allí en adelante, si multiplicamos, por ejemplo, por 6^(6^6) (que por lo q dije con el 4, terminará en 6), no es necesario determinar en q cifra termina la nueva expresión, pues se sabe que el total terminará en el producto de la última cifra de 1^(1^1)*2^(2^2)*3^(3^3)*4^(4^4)*5^(5^5) (que es 0) por la última cifra de 6^(6^6). Tal producto dará 0. Igual sucederá para 7^(7^7) y cualquier otro número.
Por lo tanto, se concluye finalmente que el resultado de la expresión (1^(1^1))(2^(2^2))(3^(3^3))(4^... terminará en 2 si el producto es hasta el 4, y terminará en cero si se hace el producto hasta el 5 o cualquier cifra mayor.
Saludos y éxitos!. Muy interesante tu pregunta. Bye!.

Answer 2

Respuesta mas sencilla:

En la multiplicación, todos los numeros se multiplican con todos, entonces hay en ella al menos un 2 y un 5 es muy obvio que termina en 0.
Es mas, existen 125 factores del -5- (5^125) y factores 2 hay como un millón, entonces como las parejas de 5 y 2 hacen el 10, el numero termina exactamente en 125 ceros ..

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Answer 3

Termina en cero porque es múltiplo de 2 y de 5, o sea es múltiplo de 10 y todos los múltiplos de 10 terminan en cero

Answer 4

Respuesta: El último dígito es un "0".
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El motivo de ello es que:

2^(2^2) = 2 ^ 4 = 16
5 ^ (5^5) = 5 ^ 25 = xxxxxxxx5 (No interesa cuanto vale esto. Pero es seguro que terminará en 5).

Al multiplicar: 16 * (xxxxxxxx5), el producto terminará en "0".
A partir de allí, siempre el producto terminará en "0".
...

Answer 5

0?

Answer 6

1x8x27x64x125x216x343x512x724
Se van resumiendo todas las multiplicaciones, ejem: (1x1) y eso por el otro uno y así con todas las multiplicaciones....

Ultimo dígito es 0
Saludos =)