Wie bestimmt man die Nullstellen? (x^3-13x-12)?

Question

Ich weiß nicht mehr genau wie das geht.
Faktorisieren?
und wenn man ne Polynomdivision machen kann wie bekommt man dann raus durch was man teilen muss?

hoffe jemand weiß bescheid

vielen dank

Answer 1

Interessante Aufgabe. Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine kubische Gleichung die schon in reduzierter Form vorliegt. Hier ist die Cardanische Lösungsformel anzuwenden:

x³-13x-12 = 0 mit -13 = p und -12 = q

x1 = u + v

x2 = ½(u+v) + ½j(u-v)*√3

x³ = -½(u+v) - ½j(u-v)*√3

wobei

u = ³√[-½q + √(½q)² + (1/3p)³]

v = ³√[-½q - √(½q)² + (1/3p)³]

Auch hier gibt es genau wie bei der quadratischen Gleichung Fallunterscheidungen für die Diskriminate

D = (½q)² + (1/3p)³

D > 0 1 reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen
D = 0 3 reelle Lösungen mit einer doppelten Nullstelle
D < 0 3 reelle Lösungen

y1 = 2√(│p│/3) * cos(α/3)

y1 = -2√(│p│/3) * cos(α/3 - 60°)

y1 = -2√(│p│/3) * cos(α/3 + 60°)

α = ½q/[√(│p│/3)³]

Zugegeben, ist etwas aufwändig aber führt zum Ergebnis.

Tip: Es existieren 3 reelle Nullstellen da D < 0 ist.. Wenn du die erste Nullstelle bestimmt hast spalte das Deflationspolynom ab und berechne die anderen beiden Nullstellen aus dieser quadratischen Gleichung.

Answer 2

Für die Gleichung:
0=a3*x^3+a3*x^2+a1*x+a0

Wenn x=p/q eine Nullstelle ist, dann gilt es:
a0 ist teilbar mit p
a3 ist teilbar mit q
p,q gehört zu Z und q # 0

In der aktuelle Aufgabe gilt:
a3=1,a2=0, a3=-13, a4=-12

wir haben dan folgende Möglichkeiten für p und q

p gehört zu{-12, -6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12}
q gehört zu {-1,1}

wir haben dann folgende Möglichkeiten für die Nullstellen p/q

x1,x2,x3 gehört {-12, -6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12}

wir versuchen mit x1= -1
und wir sehen dass
(-1)^3-13*(-1)-12=-1+13-12=0
Ergo x=-1 ist eine Nullstelle.
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wir versuchen mit x2= -3
und wir sehen dass
(-3)^3-13*(-3)-12=-27+39 -12=0
Ergo x=-3 ist eine Nullstelle
====================

wir versuchen mit x3= 4 und wir sehen dass
(4)^3-13*(4)-12=64-52 -12=0
Ergo x= 4 ist eine Nullstelle
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Wir können nun die Gleichung so schreiben
(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) = (x+1)*(x+3)(x-4) = 0
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Answer 3

schatten.mann und java haben zwar die Nullstellen gefunden - allerdings mehr durch Raten als durch Rechnen. Der Ansatz von schatten.mann funktioniert nicht, wenn die Nullstellen nicht ganzzahlig sind. In der Schule werden die Aufgaben meist so gewählt, dass man eine Nullstelle raten kann und dann klappt das. Aber auch nur dann.

Das allgemeine Verfahren zur Lösung einer kubischen Gleichung kannst du hier nachlesen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung

oder besser noch hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel

@dr.broadbrain: Es ist nirgendwo vorausgesetzt, dass x eine rationale Zahl sein soll. x könnte genauso eine reele oder komplexe Zahl sein. Deine Lösung funktioniert aber nur für rationale Nullstellen.

Answer 4

1. Das hier ist nciht zum beantworten der HA ;)
2. Wenn es ein absolutes Gliedgibt (also einfach eine Zahl ohne eine Variabel (hier die 12)), ist ein Teiler des absoluten Gliedes die Nullstelle!
Hier ist es die -3!
Die Polynomdivision machst du also wie folgt:

(x^3-13x-12) / (x+3) =........

3. Wenn es kein absolutes Glied gibt kannst du ein x ausklammern, dann hast du die erste Nullstelle, nämlich x1 = 0
4. Wenn die Funktion nur zwieten Grades ist, dann löst man sie mit der p-q-Formel x1/2 = - p/2 +- (wurzel auf) p²/2² - q (wurzel zu)


NACHTRAG:

Er hat zur Beantwortung dieser Aufgabe gebeten!! Und mein Lösungsweg wäre ein Möglicher! Es sieht sehr nach einer der Aufg aus die man im Unterricht bekommt, deswegen kann man auch die ersten Nullstelle - mehr oder weniger - 'erraten'. Ein gutes Verständnis für die Fkt. reicht vollkommen aus!!!

Außerdem ist das wohl die einfachste Lösungsmöglichkeit für die Aufg oder etwa nicht?

Answer 5

x^3-13x-12 kann man auch schreiben als:

(x-4)(x+1)(x+3)

Die Nullstellen bekommst du also wenn das Ganze gleich 0 ist.

(x-4)(x+1)(x+3) = 0
wenn entweder:

x = 4
X = -1
x = -3

@Zarathustra: woher willst du wissen dass ich geraten habe? Das hätte ganz schön lange gedauert..