Cosa dice il teorema di Rolle?

Answer 1

Il teorema dice che se una funzione reale di variabile reale f(x) :
1) è continua nell'intervallo chiuso: [a;b]
2) è derivabile nell'intervallo APERTO*: ]a; b[
3) se assume gli stessi volri agli estremi: f(a) = f(b)

ALLORA:
esiste (almeno) un punto c che appartiene all'intervallo ]a; b[ in cui la derivata della funzione è nulla.

La dimostrazione è reperibile in qualsiasi libro di Analisi Matematica 1 per l'Università o di Matematica per il 5° anno del Liceo Scientifico.


*
Io sono al corrente che nei teoremi sulle derivate (Rolle, Cauchy, Lagrange) l'intervallo di derivabilità va preso APERTO perchè ci vogliamo assicurare che negli estremi non ci siano strane patologie (non derivabilità). Però può darsi che qualcuno insegni il teorema con gli intervalli di derivabilità chiusi anche se a me non convince molto.



PER LA RAGAZZA ITALIANA CHE MI HA PRECEDUTO: CHE COS E' IL LEMMA 1? COME FA UNA PERSONA CHE NON UTILIZZA IL SUO LIBRO DI TESTO A SAPERE DI COSA STA PARLANDO???

Answer 2

L'enunciato del teorema di Rolle è il seguente:
Sia f una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e ha valori in R, sia continua e derivabile in ]a, b[.
Inoltre suppponiamo che il valore della funzione assunto agli estremi sia uguale:
f(a) = f(b)
Allora esiste un punto x0 appertenente all'intervallo aperto ]a, b[ tale che la derivata della funzione calcolata nel punto considerato sia uguale a zero:
f'(x0) = 0

In altre parole il teorema dice che se la funzione parte da un certo valore ed arriva allo stesso valore senza fare punte allora esiste un punto in cui la tangente al grafico in quel punto è orizzontale all'asse delle ascisse.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 3

non me ne intendo guarda qui
www.lostudente.com/teorema_rolle.htm

Answer 4

complicata la storia
io faccio matematica all università
te lo posso spiegare sono con dei diagrammi
In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo [a,b] ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con M e m).

Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi oppure uno dei due appartiene all'intervallo (a,b).

Caso 1) Il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi e quindi poiché f(a) = f(b) ne segue che

M = m.

Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo [a,b] e quindi ciascun punto dell'intervallo (a,b) è di massimo e quindi, per il Lemma 1, la derivata è nulla in ciascun punto c dell'intervallo (a,b).

Caso 2) Il massimo o il minimo sono raggiunti all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto c dell'intervallo aperto (a,b), cioè f(c) = M.

La derivata è nulla nel punto c.

Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo aperto (a,b), e sia c un punto di massimo o di minimo relativo per f(x) allora

f'(c) = 0

Per definizione, esisterà anche un intorno I di c tale che in ogni suo punto la funzione assuma un valore minore o uguale a c:


Quindi i rapporti incrementali destro e sinistro della funzione nel punto c saranno:

se h > 0

se h < 0

Poiché, per ipotesi, la funzione f nel punto c è derivabile, esiste il limite del rapporto incrementale che è uguale a f'(c):


ne segue che

f'(c) = 0

essendo 0 l'unico numero reale contemporaneamente maggiore o uguale a zero e minore o uguale a zero.

IN POCHE PAROLE...CI SONO punti di non derivabilità del tipo flesso a tangente verticale, cioè punti in cui il limite del rapporto incrementale è infinito.

spero di averti aiutato

Answer 5

se una funzione e' continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato e se agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.

Answer 6

se una funzione e' continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato e se agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.