hallar una PA cuya .....?

Question

como resuelvo

hallar una PA cuya suma de los n 1ros terminos es n^2+2n para todo entero positivo n

Answer 1

Respuesta:
El término i-ésimo de la progresión será: Ti = 2 i + 1.
La progresión tendrá la forma: 3, 5, 7, 9, ...
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Buscamos una serie aritmética. Entonces el término i-ésimo (Ti) será de la forma: Ti = a i + b (i), con "a" y "b" como incógnitas.
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Desarrollemos los 3 primeros términos:
T1 = a + b
T2 = 2a + b
T3 = 3a + b
Llamaremos S3 a la suma de estos 3 primeros términos. Entonces:S3 = T1 + T2 + T3 = (1 + 2 + 3)a + 3b
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Este resultado nos induce a la solución gral.:
Sn = (1+2+3+...+n)a + nb
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Ya sabemos que: (1+2+3+...+n) = n(1+n)/2, entonces:
Sn = [n(1+n)/2]a + nb = an²/2 + n(b + a/2) (ii)

NOTA: Este resultado nos sirve para encontrar cualquier otro tipo de progresión aritmética, cambiando las condiciones que debe cumplir "Sn".
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Se nos indica que: Sn = n² + 2n. Entonces, en (ii) debe cumplirse:
a/2 = 1, y
b + a/2 = 2

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cuya solución es:
a=2
b=1
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Volviendo a (i), el término i-ésimo de nuestra progresión aritmética deberá ser de la forma: Ti = a i + b = 2i + 1. La progresión entonces será: 3, 5, 7, 9, ...
...

Answer 2

Infinito.

Answer 3

Si n = 1 n^2 + 2n = 3. Por lo tanto el primer término es 3

a1 = 3

Si n=2 a1 + a2 = n^2 + 2n = 4 + 4 = 8

Como a1 = 3 a2 = 8-3 = 5

Si n = 3 a1 + a2 + a3 = 15
a3 = 15 -3-5

a3 = 7

Si ahora hacemos a2 - a1 y a3 - a2 y nos da lo mismo podemos hablar de uan progresión aritmética cuya razon es r = a2 - a1


r = 7 -5 = 5-3 = 2

Es una progr. aritmética de razón dos y primer término 3

3,5,7,9,11,13,15,17, etc

Answer 4

3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99........................


saludos