Esiste un corpo che non è campo?

Question

Cioè che non è Abeliano per la moltiplicazione?

He he

Answer 1

Il corpo dei quaternioni reali con le operazioni di addizione e moltiplicazione è un esempio di corpo che non sia un campo.
Per brevità chiamo QR tale corpo, gli elementi sono del tipo:

a0 + a1i + a2j + a3k

con a0, a1, a2, a3 elementi reali.

Si prova che (QR, +) è un gruppo abeliano:

0 + 0i + 0j + 0k elemento neutro;

(-a0) + (-a1)i + (-a2)j + (-a3)k opposto di a0 + a1i + a2j + a3k;

la somma è commutativa
(a0 + a1i + a2j + a3k) + (b0 + b1i + b2j + b3k) =
= (a0 + b0) + (a1 + b1)i + (a2 + b2)j + (a3 + b3)k =
in R la somma è commutativa
=(b0 + a0) + (b1 + a1)i + (b2 + a2)j + (b3 + a3)k =
=(b0 + b1i + b2j + b3k) + (a0 + a1i + a2j + a3k)

la somma è anche associativa, ma mi astengo dal fare la dimostrazione.

Si prova che (Qr, +, *) è un anello unitario.
Non scrivo tutte le dimostazioni altrimenti diverrebbe troppo lungo, ma per come vengono definite le operazioni in tale struttura, il prodotto risulta non commutativo.
Quinidi (QR, +, *) è un anello unitario non commutativo, quindi è un corpo.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 2

Per esempio ci sono i quaternioni H che sono un sottogruppo additivo di M(4, R) e anche moltiplicativo di GL(4, R), però non commutativo.

Per Danilo: un corpo è un anello con 1 in cui tutti gli elementi hanno un inverso moltiplicativo (quindi le matrici non vanno bene).
Un campo è un corpo commutativo, cioè un anello con 1 in cui tutti gli elementi hanno un inverso e in cui il prodotto è commutativo (che la somma sia commutativa lo richiedi già nella definizione di anello).

Answer 3

ecco qui

Answer 4

Cioè mi chiedi se esiste un insieme di oggetti per il quale saltano tutte le proprietà della moltiplicazione ma valgono immutate quelle della somma?

Le matrici K(n, m), cioè le matrici a coefficienti in K (K è un campo, indifferente se il campo dei reali o quello dei complessi) con n righe ed m colonne (si accetta anche n = m) non soddisfano le proprietà del prodotto, infatti:
1) non sempre esiste il reciproco di una matrice (ad esempio nel caso di matrici quadrate, il reciproco esiste se e solo se il determinante non è nullo, ovvero se il rango della matrice è il massimo possibile).
2) clamorosamente salta la legge di annullamento del prodotto (cioè non c'è solo la matrice nulla che annulla un prodotto, un prodotto può essere annullato anche se i due fattori sono non-nulli).
3) il prodotto di matrici non è generalmente commutativo: se A e B sono due matrici rettangolari qualsiasi A*B è in generale diverso da B*A, sempre che A*B oppure B*A siano ben definiti (il prodotto di matrici rettangolari fa un po' schifo perchè non sempre è possibile farlo - ci sono delle condizioni da rispettare).
4) la quarta proprietà richiede l'esistenza di un elemento neutro per la moltiplicazione; nel caso particolare di matrici quadrate esiste la matrice identità (I) che ha entrate unitarie sulla diagonale principale e zeri altrove. Effettivamente il prodotto I * M, ove M sia una matrice quadrata dell'istesso ordine di I, restituisce la marice M. Ma nel caso generale di matrici rettangolari non sono al corrente di matrici identità o comunque di matrici che facciano questo lavoro.

Le proprietà della somma (associatività, commutatività, esistemaza di un inverso (-1) ed esistenza di un neutro (0)) sono invece tutte verificate.
Questo rende il corpo delle matrici un cosiddetto GRUPPO ABELIANO (cioè sono verificate le proprietà della somma ma non quelle del prodotto, ed in particolare la legge di annullamento del prodotto).

Spero di essere stato esaustivo.