Funzioni matematiche?

Question

Cosa s'intende per surriettività??
Aiuto!

Answer 1

Una funzione si dice surgettiva se ogni elemento nel codominio è immagine di almeno un elemento nel dominio, ovvero se ha almeno una controimmagine.

Per verificare se una funzione è surgettiva basta vedere se l'immagine coincide con il codominio. Oppure graficamente si può vedere se una funzione è surgettiva verificando se ogni retta parallela all'asse x taglia il grafico della funzione almeno una volta.

Esempi:
Una parabola del tipo y = x^2 non è surgettiva perchè:
1) Imf = [0, +infinito[ != R
2) le rette parallele all'asse x "sotto" l'asse x, cioè le rette del tipo y = k, con k < 0, non incontrano mai il grafico della funzione.

Una cubica del tipo y = x^3 è surgettiva perchè:
1) Imf = R
2) ogni parallela all'asse x la incontra almeno una volta.

Ogni retta con coefficiente angolare non nullo, cioè non parallela all'asse delle x, è surgettiva.
Le rette verticali non sono surgettive anche se tutto farebbe pensare al contrario. Il problema è che non sono proprio funzioni (non associano ad ogni elemento del dominio una ed una sola immagine nel codominio, ma l'opposto, associano ad un elemento nel dominio infinite immagini nel dominio...)


N.B.: != significa DIVERSO

Answer 2

Una funzione si dice suriettiva (o surgettiva) quando l'immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un punto del dominio.

Formalmente, una funzione f:X \rightarrow Y è suriettiva se \forall y \in Y, \exist x \in X | f(x) = y.

Answer 3

Una funzione è detta suriettiva quando ogni elemento dell'insieme di arrivo è raggiunto dalla funzione.
Ovvero quando l' Im(f) è uguale all'insieme di arrivo.

Answer 4

Tutto giusto quello che ti hanno detto. Ti faccio un piccolo esempio. Hai due insiemi, il dominio (A,B,C) e il codominio (X,Y,Z). Hai una funzione che li lega.
Se tutti gli elementi del codominio sono raggiunti da questa funzione, cioè se X,Y,Z sono raggiunti, allora è SURIETTIVO.
Se un elemento del dominio ha al massimo una sola immagine nel codominio, ovvero se ad esempio ad A è legato solo Y e non magari Y e Z, allora è INIETTIVO.
Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva, allora diventa BIUNIVOCA (o biiettiva come preferisci), ossia ad ogni elemento del codominio è associato uno ed uno solo elemento del codominio.

Answer 5

In generale una funzione e' una regola che ad OGNI elemento (li prendo proprio tutti!) dell' insieme dominio A associa UNO ED UN SOLO elemento dell' insieme codominio B (pero' a diversi elementi dell' insieme A posso associare lo stesso elemento dell' insieme B, se succede la funzione non e' iniettiva). Comunque facendo queste "associazioni" puo' essere che qualche elemento dell' insieme B non venga "toccato". Se succede la funzione non e' suriettiva. Se invece ogni elemento di B viene "raggiunto" da elementi di A, la funzione e' suriettiva. Si puo' dire anche cosi': una funzione e' suriettiva se, preso un qualsiasi elemento del codominio, esiste (almeno) un elemento del dominio che viene spedito dalla funzione nell' elemento del codominio prima considerato. Come vedi a priori non c'e' simmetria tra dominio e codominio.

A scuola di solito si studiano solo funzioni dai numeri reali ai numeri reali (da R a R) che si rappresentano coi grafici nel piano. In pratica si sottintende che il codominio sono i numeri reali, il dominio invece i numeri reali o un sottoinsieme di essi perche' si escludono quei valori per i quali non posso calcolare l' espressione trovando un numero reale come risultato (ad esempio quando devo dividere con 0 o calcolare la radice quadrata di numeri negativi).

In pratica in questo caso per vedere se una funzione e' suriettiva bisogna capire se tutti i valori di y (asse verticale) vengono raggiunti da valori della funzione; se guardi il grafico questo significa vedere se tutte le rette orizzontali hanno o no intersezione col grafico.
La funzione e' suriettiva se tutti valori di y vengono raggiunti dalla funzione o equivalentemente se ogni retta orizzontale interseca il grafico (attenzione, potrebbe intersecarlo fuori dal tuo foglio che rappresenta una regione limitata).
Esempio:
la funzione y=x+2 e' suriettiva (e anche iniettiva). Preso un qualsiasi valore di y esiste (almeno) un valore di x, cioe' y-2 nel nostro caso, che viene spedito dalla funzione nell' y di partenza (nel nostro caso (y-2)+2=y).

Una funzione potrebbe essere ne' suriettiva ne' iniettiva, solo suriettiva, solo iniettiva o contemporaneamente suriettiva e iniettiva. Se e' contemporaneamente suriettiva e iniettiva si chiama anche biettiva. Una funzione biettiva si puo' caratterizzare cosi':
preso un qualsiasi elemento del codominio esiste un unico (l' unicita' viene dall' iniettivita') elemento del dominio che viene spedito dalla funzione nell' elemento del codominio considerato prima.