per mettere in evidenza limiti notevoli?

Question

vorrei sapere se esitono dei metodi per mettere in evidenza i limiti notevoli nel calcolo di un limite... cioè a che cosa dovrei porre uguale la x nei vari casi?
vi prego aiutatemi!

Answer 1

Nel caso dei calcoli di limiti che presuppongono l'uso dei limiti notevoli bisogna utilizzare dei truschini che non si possono insegnare, si imparano con l'esercizio.
Ti faccio qualche esempio:

limite per x che tende a zero ((sen2x)/x).
Moltiplico e divido per 2: limite per x che tende a zero (2(sen2x)/2x).
Il due a denominatore lo porto fuori dal limite ed ho:
2 limite per x che tende a zero ((sen2x)/2x). Allora il limite è notevole e dà 1 che moltiplica il due che ho messo fuori. Il limite viene 2.

Altro esempio: limite per x che tende a infinito di
(sen(1/x))/(1/x). Pongo z = (1/x) e allora il limite con la nuova variabile dovrà essere fatto per z che tende a zero.
Quindi ho: limite per zeta che tende a zero di (senz)/z, uguale 1.

Cioè l'idea è di fare dei giochetti astuti in modo da portare un limite di cui non sappiamo nulla ad un limite notevole. Ad esempio si fanno queste cose:
Sommare e risottrarre
Moltiplicare e dividere
Fare cambi di variabile in modo che il limite somigli a quello notevole (però ricordando di studiare a cosa tende la nuova variabile perchè con quella data sostituzione il limite potrebbe non essere più notevole - e generalmente questo è un errore comune: il limite deve essere notevole, non dev'esserlo solo l'argomento...*)

Sempre a titolo d'esempio ti voglio proporre una dimostrazione di un limite notevole che si dimostra a partire da un altro limite notevole con un trucco interessante:
limite per x che tende a zero di (1 - cosx) / x^2 = 1/2.

Facciamo questo giochetto sull'argomento del limite:
moltiplico e divido per (1+cosx) [ometto per ragioni di spazio e di chiarezza la dicitura limite per x che tende a zero].

lim (1 - cosx)(1 + cosx)/(x^2)(1+cosx) =
= lim(senx)^2 / (x^2)(1+cosx) =
= lim((senx)^2/(x^2)) * lim1/(1+cosx) [I limiti sono per x ---> 0]=
= lim((senx)/(x)) * lim((senx)/(x)) * lim1/(1+cosx)
= 1*1* (1 / (1 + 1)) = 1/2.

Vedi? Bisogna farci un po' la mano, ma l'idea è: non sappiamo cosa fa questo limite, ma tentiamo di ricondurci a qualcosa di noto. Tutti i trucchi sono concessi, purchè li si facciano nel rispetto della matematica e del buonsenso!!


*
Considera il secondo esempio che ho fatto: se x non tendeva a infinito ma a zero, io potevo fare il cambio di variabile z = 1/x ma in quel caso z sarebbe teso ad infinito, il che cambia le cose: non è più il limite notevole senx / x quando x tende a zero, ma il limite (non notevole ma comunque importante) senx /x quando x tende a infinito, che si dimostra essere uguale a zero, non a uno!!