secondo teorema di Laplace?

Question

qualcuno sa dirmi con sicurezza qual'è il secondo teorema di Laplace e che cos'è il minore complementare?

Answer 1

Il secondo teorema di Laplace afferma che:
il determinante di una matrice quadrata M è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Il complemento algebrico di un elemento della matrice è il determinante della matrice ottenuta cancellando la riga e la colonna su cui si trova l'elemento considerato moltiplicato per -1 elevato alla somma dell'indice di riga e dell'indice di colonna.

Il minore complementare di un elemento è la matrice che si ottiene cancellando la riga e la colonna su cui si trova l'elemento.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 2

Riguarda il calcolo del determinante di una matrice (quadrata) di ordine qualsiasi.
Afferma che il determinante di una matrice è dato dalla somma degli elementi di una qualunque riga (o di una qualunque colonna - nota 1) moltiplicati per il loro rispettivo complemento algebrico (nota 2).
Il complemento algebrico di un elemento di una matrice è -1 elevato alla somma degli indici di riga e di colonna dell'elemento [ovvero (-1)^(i+j), se hai indicato la riga con i e la colonna con j] per il determinante della matrice che si ottiene togliendo la riga e la colonna a cui appartiene l'elemento stesso.

Un esempio chiarirà le parole. Si voglia calcolare il determinante di questa matrice:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

(grande fantasia!)

Consideriamo la prima riga. Avrò:

(-1)^(1+1) * 1 * detA + (-1)^(1+2) * 2 * detB + (-1)^(1+3) * 3 * detC
= 1*detA - 2*detB + 3*detC.

A è la matrice ottenuta togliendo la prima riga e la prima colonna:
5 6
8 9

B è la matrice ottenuta togliendo la prima riga e la seconda colonna:
4 6
7 9

C è la matrice ottenuta togliendo la prima riga e la terza colonna:
4 5
7 8

Quindi avremo nell'esempio:
1*(45 - 48) - 2*(36 - 42) + 3*(32 - 35) =
= -3 +12 -9 = 0

Dal teorema di Laplace sui determinanti si può dimostrare che il det di una matrice triangolare o di una matrice simmetrica è eguale al prodotto degli elementi sulla diagonale.

Per applicare il metodo di Laplace per il calcolo del determinante si può quindi partire da qualunque riga o colonna, ma generalmente conviene partire da quella che contiene più zeri.
Inoltre è evidente che, se una matrice ha una riga completamente nulla o non è di rango massimo, il determinante sarà nullo (questa osservazione è importantissima*).

OSSERVAZIONE: Siccome per il calcolo del determinante il metodo di Laplace chiede di calcolare dei sottodeterminanti e siccome se ho una matrice di ordine n devo calcolare (nella peggiore delle ipotesi) n! determinanti, esso si rivela poco pratico e molto pesante dal punto di vista computazionale, a meno che la matrice data sia molto "sparsa", cioè con un'altissima percentuale di zeri. Va invece bene per piccole matrici (n <= 5)


*
Consiglio la lettura di un buon libro di Geometria/Algebra lineare per ulteriori chiarimenti ed approfondimenti. Il determinante è molto importante in Geometria perchè per studiare alcune cose si rivela proprio "determinante".


NOTA 1: Il primo teorema parla dello sviluppo del determinante a partire da una qualsiasi RIGA, mentre il secondo tira in ballo una qualsiasi COLONNA (è evidente che non sono due teoremi distinti ma uno solo con due casi).
NOTA 2 (rettificata): Il minore complementare di un elemento di una matrice M è il determinante della matriche che si ottiene escludendo dalla matrice M la riga e la colonna a cui appartiene l'elemento. Il complemento algebrico non è altro che un minore complementare con il segno.

Answer 3

ti metto il link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Laplace...
Ciao