come si può dimostrare matematicamente che
tra tutti i rettangoli aventi uguale perimetro, il rettangolo con area maggiore è quello avente i lati uguali (cioè il quadrato)?
2006-11-01 05:03:22 · 6 risposte · inviata da Gianluca G 3 in Matematica e scienze ➔ Matematica
Sia P il semi-perimetro del rettangolo e sia x un suo lato ( P-x sarà l'altro lato). L'area sarà quindi x*(P-x) = Px - x^2. Basta calcolare il massimo di questa funzione, ponendo la derivata prima uguale a 0: P - 2x = 0 da cui x = P/2 quindi i lati saranno: P/2 e P-P/2 = P/2
2006-11-01 05:21:09 · answer #1 · answered by Anonymous · 1⤊ 0⤋
Per risolvere il problema bisogna essere a conoscenza delle derivate. In effetti, questo è uno di quei problemi noti con il nome "problemi di massimo / minimo".
Chiamiamo a e b i due lati del rettangolo e 2p il suo perimetro (quest'ultima quantità è "nota", fissata dalle ipotesi del problema).
A rigore, bisogna imporre che a, b e 2p siano strettamente positivi (sembra un'ipotesi demenziale ma bisogna farla per evitare di introdurre soluzioni estranee al problema).
Abbiamo che 2 * (a + b) = 2p e quindi a + b = p (semiperimetro); ricaviamo uno dei due lati dall'ultima relazione in funzione dell'altro, ad esempio:
a = p - b (#).
In questo caso abbiamo il lato a espresso in funzione del lato b.
Ora dobbiamo trovare l'area del nostro rettangolo, e quindi moltiplichiamo i due lati.
A = a * b e sostituiamo in questa relazione l'espressione di a in funzione di b (#):
A = (p - b) * b.
A è quindi una funzione del lato b: possiamo quindi indicarla come A = A(b) = (p - b) * b = pb - b^2.
Ora entrano in gioco le derivate, siccome dobbiamo risolvere un problema di massimo / minimo (o problema di "estremalizzazione").
Deriviamo quindi la funzione dell'area:
A'(b) = p - 2b, che è ancora una funzione della variabile b.
Ora la condizione di massimo / minimo si impone uguagliando a zero la derivata: p - 2b = 0, da cui b = p / 2.
Inoltre bisogna verificare che tale punto sia effettivamente un punto di massimo, andando a studiare i cambi di segno della derivata prima intorno al punto b trovato o andando a vedere il segno della derivata seconda in prossimità del punto b stesso.
Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione area:
A''(b) = -2 che è sempre negativa per ogni b reale. Questo assicura che il punto che abbiamo trovato, b = p / 2, è effettivamente un punto di massimo (altrimenti avevamo sbagliato qualcosa!!)
Quindi abbiamo trovato che il lato b deve valere metà del semiperimetro. Vediamo a questo punto quale condizione dobbiamo imporre su a. Richiamiamo la (#) e sostituiamo il valore ricavato di b:
a = p - b = p - p / 2 = p / 2.
Cioè abbiamo trovato che a = p / 2. Ma anche b = p / 2.
Ciò implica che il rettangolo di perimetro 2p che ha area massima è quello che ha i lati uguali, ossia il quadrato.
Questò è quello che si voleva dimostrare.
2006-11-01 06:15:12 · answer #2 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
l' aria non è sempre uguale!
se prendi un quadrato di 6 cm ed un triangolo di 8 cm le basi e 4 cm i 2 lati verticali vedrai chi il 2p è uguale in tutti e due i casi; ma l' aria non sarà uguale: quadrato- A= lato x lato; rettangolo- A= lato verticale x base/ risultati: 36-32
2006-11-01 05:21:06 · answer #3 · answered by lucas 2 · 0⤊ 0⤋
Non lo so!!!
2006-11-01 05:07:23 · answer #4 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
ehm..uhm...ehm.......italia unOOOOOO..!! ahahaha...
ps: nin zò la risposta..ciaO!
2006-11-01 05:06:56 · answer #5 · answered by fede_kikkA 3 · 0⤊ 0⤋
Vai a vedere il sito dell' università della sapienza di Roma. Li trovi le informazioni matematiche che ti servono
2006-11-01 05:06:10 · answer #6 · answered by squire_moers 6 · 0⤊ 0⤋