aide math!please?

Question

salut tout le monde, quelqu'un aurait une methode precise pour trouver:
soit

f(x) et g(x) // h(x)=(fog)(x) (et on nous donne h(x).

par ex: h(x)=x^2-1/x^2+2

on peut tatoner et puis dire f(x)=x-1/|x|+1 et g(x)=x^2




mais je trouve ça un peu stupide,pas vous?

si quelqu'un a quoique se soit(un astuce,...) qu'il

n'hesite pas a me le suggerer j'en lui serait reconnaissable

Merci d'avance

Answer 1

Ton inspiration est bonne : f(x) = (x - 1)/(x + 2) et g(x) = x² est une solution de ton problème.

De façon évidente, on a aussi 2 autres couples de solutions :
1: f(x) = x et g(x) = h(x)
2: f(x) = h(x) et g(x) = x

D'une façon générale, on peut construire une infinité de solution de la façon suivante :
Supposons que h(x) soit définie de A dans B (A et B sont des parties de IR).
Soit f une fonction qui soit une bijection de B sur C, où C est une partie de IR (c'est globalement facile à construire).
On appelle F la réciproque de f (définie de C sur B) et on pose g=Foh. g est définie de A vers C.

On a alors f o g = f o (F o h)= (f o F) o h= h, c'est bien ce que l'on cherchait.

En reprenant ton exemple : h(x) = (x² - 1)/(x² + 2), h est défini de IR dans [-1/2 ; 1[.
On choisit f "au hasard" afin qu'elle soit bijective de C (à définir) sur [-1/2 ; 1[. Prenons par exemple f(x) = x/2+1, bijection de [-3;0[ dans [-1/2 ; 1[.
F(y) = 2 y - 2 est la fonction réciproque de [-1/2 ; 1[ dans [-3;0[.

On pose alors g(x) = F(h(x)) = 2(x² - 1)/(x² + 2)-2=-6/(x²+2), et on a h = f o g.

On aurait pu prendre, autre exemple, f(x) = sin(x) de [arsin(-1/2);pi/2[ et déterminer ainsi un autre couple de solutions.

En conclusion, si le but de l'écriture de h sous la forme f o g est de simplifier l'étude de h, il est clair que la solution que tu proposes est la meilleure, puisque l'étude de f est assez facile et que g est connue.
Si par contre, tu cherches à générer plein de solutions (sans autre but que trouver des solutions ton problème), alors tu peux utiliser la méthode que j'ai décrite.

Answer 2

trop ancien pour moi dsl

Answer 3

Il s'agit de décomposer h en deux fonctions + simples.
Si on ne t'impose rien sur f et g... x²-1/x²+2 peut en effet être obtenu avec g(x)=x² et f(x)=x-(1/x)+2. Comme tu dis: bof...

Answer 4

j'ai l'impression que le raisonnement est correct
h(x)=(fog)(x)=f(g(x))
soit f(x)=(x-1)/(x+2) et g(x)=x²
alors f(x²)=(x²+1)/(x²+2)=h(x)