Raíces de un polinomio?

Question

Dado el polinomio P(x) = x^4 - 4x^3 - x^2 + 8x - 2, escribir a P como un producto de polinomios con coeficientes en R, de grado positivo, sabiendo que P tiene dos raíces que son una inversa de la otra.

Comprobé que P(x) no tiene raíces reales. Intenté sacar las raíces a partir de que 4 debería ser igual a la suma de las raices y -2 el resultado de su producto, pero no puedo hacer nada más porque no conozco ninguna de las raíces.
También intenté evaluar el polinomio en z, en z^(-1) y como P(1) = 2 supuéstamente P(z z^(-1)) también debería ser 2. Tampoco me sirve porque no puedo seguir.

Answer 1

Solución: Las 4 raices reales son: -raiz(2), 2 - raiz(3), raiz(2) y 2 + raiz(3). Por ello:
P(x) = [x + raiz(2)] [x - 2 + raiz(3)] [x - raiz(2)] [x - 2 - raiz(3)].
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Supongamos que ya hemos ubicado las 4 raices del polinomio. Entonces lo podremos re-escribir como:
P(x) = (x - a) (x + a) (x - b) (x - c) (i), nuestras incógnitas son: "a", "b" y "c".
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Sabemos que: (x - a) (x + a) = x² - a². Entonces en (i) hacemos:
P(x) / (x² - a²) = (x - b) (x - c) (ii),
lo que nos indica que si encontramos "a", simplemente nos quedará por resolver la cuadrática: (x - b) (x - c).
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Efectuamos el cociente: P(x) / (x² - a²) y obtenemos el siguiente resultado:
Dividendo = P(x)
Divisor = (x² - a²)
Cociente = x² - 4x + (a² -1) (iii)
Resto = (8 - 4 a²)X + [a²(a² - 1) -2]
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Por Teorema del Resto sabemos que si "±a" son raices del polinomio entonces el Resto(±a) = 0. Entonces:
(8 - 4 a²) = 0
[a²(a² - 1) -2] = 0
De ambas ecuaciones se obtiene el mismo resultado: a = ± raiz(2).
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Finalmente (de iii) resolvemos x² - 4x + (a² -1) = x² - 4x + 1 = 0, cuyas raices son: 2 ± raiz(3).
...

Answer 2

las raices del polinomio son:
2- √3, 2 +√3, √2, -√2
que son todas raices reales.
y honestamente no se a que se refiere "sabiendo que P tiene dos raíces que son una inversa de la otra.", porque como puedes ver, en este caso no se cumple en ningun caso.

las raices de grado mayor a 3 son dificiles de sacar,
estas las encontre usando maple
s

Answer 3

x 1= +2- √3
x 2= 2 +√3
x 3= - √2
x4 = √2
Raíces calculadas por Derive 6