Géométrie: comment montrer que des points sont alignés ?

Question

Je fais quelques exercice d'entrainement pendant les vacs.
Je me suis cassé la tête sur cet exercice mais je ne sais pas comment m'y prendre. Voici l'ennoncé:

ABC rectangle en A tel que BC=2xAB

On construit le triangle équilatéral ADC exterieur à ABC,
Ainsi que le triangle ABE isocèle en B exterieur à ABC tel que
E, B, C sont alignés.

Il faut montrer que les points D, A et E sont alignés mais comment??
J'y est passé ma soirée mais je ne sais pas quel théorème utiliser..
Aidez moi SVP.

Answer 1

Hypothèses:
Somme des angles d'un triangle=180 degrés

Pour montrer que A,E et D sont alignés il faut que les angles:
(BAE)+(BAC)+(CAD)=180°

Or ABC rectangle en A donc
angle(BAC)=90°
Et ACD équilatéral donc
angle(CAD)=60°



Montrons que angle(BAE)=30°

cos(angleABC)=AB/BC
or BC=2AB, donc
cos(angleABC)=AB/(2AB)=1/2
d'où
angle(ABC)=60°
Sachant que E,B et C sont alignés nous avons:
angle(EBC)=180°
Donc l'angle(EBA)=120°
Or EBA est un triangle isocèle en B, nous avons par conséquent:
angle(AEB)=angle(BAE)
d'où
angle(AEB)=(180-120)/2=30°


Nous avons donc bien les angles
(BAE)+(BAC)+(CAD)=180°
30+90+60=180
DONC
E,A et D sont alignés
cqfd.

Answer 2

pour montrer que abc sont alignés tu peut montrer que l'angle abc est plas (180°) mais le plus pratique est de montrer que les vecteurs ab et bc sont colinéaires ou encore les vecteurs ab et ac ou bc et ba etc...

Answer 3

Je ne peux pas importer un dessin, mais quand tu dessines les triangles tel qu'énoncé ci-dessus tu peux travailler dans ce sens :

Il faut travailler avec les angles.

DAE sont alignés si l'angle entre les droites DA et DE est égal à 180°
Il faut partir de l'hypothèse aussi que la somme des angles intérieurs à un triangles est égal à 180°

Avec ça tu devrais y arriver.

Bonne chance.

Answer 4

Pour que A, E et D soient allignés, il faut que EÂD=180
sig DÂC+CÂB+BÂE=180
On sait les mesures des deux premiers angles (tr. équilatéral/ tr. rectangle) donc il faut chercher BÂE.
2 BÂE+E^BA=180 (tr.isocèle)
C^BA+ E^BA=180 (e,b,c allignés)
d'où BÂE=C^BE/2

Soient AB=c , AC=b , BC=a
D'après le théorème d'El-Khashi, on a:
b*2(au carré)= a*2+c*2-2ac cos^B

ce qui donne
cos^B= a*2+c*2-b*2/2ac

Il nous reste à chercher AC pourpouvoir faire l'application numérique

ABC est un triangle rectangle en A
D'après le théorème de Pithagore, on a:
BC*2= AB*2+AC*2
sig AC= racine de (BC*2 - AB*2)
sig AC= racine de 3

Revenons à cos^B:
cos^B= a*2+c*2-b*2/2ac
= 2*2+1*2-[racine de (3)]*2/2.2.1
= 1/2

donc C^BA=60 or on a prouver que BÂE = C^BA/2
alors BÂE=30

DÂC+CÂB+BÂE= 60+90+30 = 180 = DÂE

Donc D,A et E sont allignés.

Answer 5

Il faut montrer que EAD=180°
On connait déjà BAC=90° et CAD=60°
On cherche donc EAB (qui est égal à BEA)

Soit F le milieu de [BC], on sait que BF = FC = BA
Or BAC est rectangle en A donc BFA est isocèle en F (ainsi que AFC, la médiane issue de l'hypothénuse divisant le triangle rectangle en deux triangles isocèles).
BFA étant également isocèle en B (puisque BF=BA), il est équilatéral.
Donc ABF = 60°
Comme E, B et C sont alignés, EBA = 180-60 = 120°
donc BAE = AEB = (180-EBA) / 2 = 30°

BAC+CAD+BAE= 90+60+30 = 180
CQFD

Il existe d'autres solutions, en particulier pour le calcul de l'angle ABC (cosinus, construction d'un triangle BCZ de hauteur AC qui se révèle équilatéral... ).
La solution générale reste la même dans tous les cas...

Answer 6

Cela fait longtemps ces maths-là, mais explique-moi comment tu fais un rectangle avec 3 points !!!!! :

ABC rectangle en A tel que BC=2xAB

Answer 7

Il faut utiliser la trigonométrie :

Il faut calculer l'angle ABC (former par les droites AB et BC) :
la formule est la suivante : cos x = longueur de la droite adjacente/longueur de l'hypothénus, soit :
cos ABC = AB/BC
Or BC = 2AB
donc cos ABC = AB/2AB
d'où cos ABC = 1/2
ce qui donne ABC = 60°

Puisque E, B et C sont alignés, par hypothèse, l'angle EBC=180°.
L'angle EBC est la somme des angles EBA et ABC.
donc EBC = EBA + ABC
on remplace par les valeurs :
180 = EBA + 60
Ce qui donne l'angle EBA = 120°

La somme des angles d'un triangle est de 180°, Pour le triangle EBA, on a :
180° = AEB + EBA + BAE

Puisque le triangle EBA est isocèle en B, AEB= BAE
donc 180° = EBA + 2 AEB
on remplace par les valeurs :
180° = 120 + 2 AEB
d'où AEB = 30°

Si E, A et D sont alignés, l'angle EAD est plat et vaut 180°.
Ici, EAD = EAB + BAC + CAD
EAB = 30°
BAC est un angle droit, par hypothèse = 90°
CAD = ACD = CDA = 60 ° puisque c'est un triangle equilatérale

donc EAD = 30 + 90 + 60 = 180°, CQFD !

Answer 8

Démontrer que l'angle DAE est plat
DAC = 60 ° : (ADC équilatéral)

CAB = 90 ° : (ABC rectangle en A)

BAE = AEB = (180 ° - ABE) / 2 : (ABE isocèle en B)

ABE = 180 ° - CBA : (C, B et E alignés)

Cos CBA = AB / BC : (ABC rectangle en A)

Cos CBA = 0,5 : (BC = 2 x AB)
CBA = inv cos CBA = 60 °

ABE = 180 ° - 60 ° = 120 °

BAE = (180 ° - 120 °) / 2 = 30 °

DAE = DAC + CAB + BAE = 60 ° + 90 ° + 30 ° = 180 °

DAE est plat donc D, A et E sont alignés.

Answer 9

Effectivement aprés de longue minutes je les trouvent alignés.
Alors j'avais bien la méthode des vecteurs mais bof la ... non donc je me suis attaché a regarder l'angle EAD

Que vaut t'il?

90+BAE+CAD
Hors CAD=60

150+BAE

Et BAE alors?

là c'est un petit calcul

2BAE+ABE=180
2BAE+(180-CBA)=180
2BAE=CBA

hors

Cos (CBA)=AB/CB=AB/2AB=1/2

Donc CBA=pi/3

Donc BAE=pi/6=30°

On retourne au départ et on trouve que DAE=180°

donc il sont alignés cqfd

Answer 10

Il faut utiliser deux théorèmes: Celui de la médiane issue de l'angle droit dans un triangle rectangle (= la moitié de l'hypoténuse) et celui de la somme des angles d'un triangle (= à 180°).

Après il suffit de montrer que l'angleEAD=180°. Ce n'est pas bien difficile; je ne te donne pas la solution.