Dos rectas en el plano se cruzan si y solo si poseen uno y solo un punto en común considere dos líneas rectas

Question

R1:a1x+b1y+c1=0
R2:a2x+b2y+c2=0

Cual de las condiciones siguientes es necesaria y suficiente para que R1 y R2 se crucen:

Segun yo la respuesta es : a1 b2 - a2 b1 =/= 0
Segun otro amigo dice que es : a1/b1=a2/b2

Que dicen Uds?

Answer 1

Ok. Una recta de la forma Ax+By+C=0 (ecuación general) siempre tendrá pendiente -A/B. Así, por ejemplo, la recta 3x-2y+1=0 tiene pendiente 3/2.
Ahora bien, en el plano dos rectas pueden ser secantes (se cortan en 1 solo punto), paralelas (nunca se cortan) o coincidentes (se cortan en todos sus puntos, en realidad, una esta sobre la otra).
Para saber el comportamiento de si 2 rectas son paralelas o secantes, basta con conocer sus pendientes. 2 rectas de pendiente similar y términos independientes (c1 y c2 en el caso que planteas) no proporcionales de la misma manera que las pendientes serán paralelas, en tanto que si las pendientes son diferentas serán secantes (se cruzarán y cortarán en 1 sólo punto).
Por lo tanto, para verificar que las rectas R1 y R2 que planteas se crucen, hallas las pendientes de cada una y dices que son diferentes. Aplicando lo que ya te había comentado, para R1 la pendiente será -a1/b1, en tanto que para R2 será -a2/b2, luego, considerando que ambas deben ser diferentes, se nos formará la expresión
-a1/b1 =/= -a2/b2, que se puede reagrupar multiplicando en cruz como
-a1b2 =/= -a2b1, y si pasamos todo para el otro un lado de la expresión, nos queda
0 =/= a1b2 - a2b1, que es equivalente @ lo que tú planteas.
En el caso de la expresión planteada por tu amigo, ella es válida para rectas paralelas y/o coincidentes, para verificar de que clase son, basta con recurrir al término independiente.
Para ilustrar todo esto, veamos unos ejemplos:
Sean:
R1: 2x+y-1=0
R2: 2x+y+5=0
R3: -4x-2y+2=0
R4: 2x-y-1=0
Las pendientes de estas rectas seon:
R1: -2/1 = -2
R2: -2/1 = -2
R3: -(-4)/(-2) = -2
R4: -2/(-1) = 2
Siendo así, la recta R4 tiene pendiente diferente @ las demás, lo que significa que @ cada una de las otras las corta en un punto. En cuanto @ las 3 primeras, es notable que todas tienen la misma pendiente. Si miramos los coeficientes de x e y en R1 y R2 vemos que son los mismos, pero el término independiente es diferente, esto significa que las rectas son paraleleas (no se cruzan nunca). Ahora bien, R4 tiene coeficientes diferentes, pero la misma pendiente. Si dividimos uno cualquiera de los coeficientes de x o y de R3 por su respectivo de R1(por ejemplo, dividir el -4 de la x en R3 por el 2 de R1), nos da -2, tal resultado se repite al dividir de la misma manera los independientes (dividir el 2 de R3 por el -1 de R1), esto significa que en las 2 rectas (R1 y R3) los 3 coeficientes guardan la misma proporción respectivamente, por lo que más que paralelas (pendiente igual), las 2 rectas son coincidentes. No ocurre igual con R2 y R3, en este caso, como sólo son iguales en sus pendientes, serán simplemente paralelas.
Espero haber sido de tu ayuda. Saludos y éxitos.

Answer 2

tomando vector normal se podria sacar

Answer 3

Se puede ver que es necesario que el determinante del sistema sea diferente de cero . Por lo que la ecuación de tu amigo debería tener el sigo de diferente como tu respuesta.

Answer 4

si no recuerdo mal para que dos rectas se corten deben estar contenidas en el mismo plano y tener pendiente distintas, con esos condicionantes, debes resolver el sistema de ecuaciones, un saludo

Answer 5

La respuesta correcta es la tuya, ya que para que se corten existen una rango infinito de valores para a y b en los cuales se cunpola esa condición.

La respuesta de tu amigo indica la condición para que no se crucen, es decir el par de puntos a y b en el cual serían paralelas.

Answer 6

Estás en lo cierto tú y no tu amigo. En efecto, ambas rectas tendrán un punto en común (es decir, se cortarán en el mismo plano, al tratarse de rectas bidimensionales) si se cumple:

a1·b2 -a2·b1=/=0

En el sistema algebraico formado por ambas rectas podemos plantear la siguiente matriz para resolverlo:

(a1 b1) (x) = (c1)
(a2 b2) (y) (c2)

Pudiendo simplificarlo del siguiente modo, para entendernos mejor.

A · x = C

La matriz A, para que el sistema tenga solución(y como tal exista un punto común entre las dos rectas) , según el teorema de Rouché-Frobenius, debe tener su determinante asociado con un valor distinto de cero. Esto significaría que el sistema tiene una única solución. Es decir:

| a1 b1 | =/= 0
| a2 b2 |

resolviendo este sencillo determinante mediante reglas del álgebra lineal:

a1·b2 - a2·b1 =/=0

Por lo tanto, estabas en lo cierto. Si se cumple esta relación estamos ante una condición necesaria y suficiente para que las rectas se corten en un punto.

Según tu amigo, él dice que se cortarían si a1·b2=a2·b1, con lo cual está insinuando que el sistema anterior tendría solución si el valor del determinante fuera igual a cero, lo cual no es cierto. En caso de que el determinante fuera cero, el sistema no tendría solución, con lo cual las rectas no tendrían ningún punto en común, de lo cual deducimos que necesariamente las rectas serían paralelas.

Resumiendo, si este determinante vale cero las rectas son paralelas y si el valor (como dices tú) es distinto de cero, las rectas intersecarán necesariamente en algún punto, cuyo valor sería sencillo obtener resolviendo el sistema.

Espero que se te haya aclarado tu duda ;)

Answer 7

Yo diría que si a1/b1=a2/b2 las dos rectas son paralelas, y por tanto no tienen un punto en común. De ese modo, dos rectas tendrían un punto de corte cuando a1/b1 != a2/b2.

Answer 8

Las dos rectas se cruzarán si su pendiente es diferente.
En este caso a1/(-b1) diferente de a2/(-b2).

Answer 9

tu y tu amigo respondeis lo mismo.
a1/b1= a2/b2 -----> a1b2=a2b1 -----> a1b2 - a2b1 =0

Answer 10

Mientras las lineas se mantengan rectas y no paralelas...se cruzan si poseen un punto en comun.
Con respecto al calculo tuyo y al de tu amigo...bien gracias...no soy bueno para eso.
Suerte.