¿Cómo despejarías la X en esta ecuación con matrices?

Question

La ecuación es la siguiente : X = AX + D

Donde A y D son dos matrices, por tanto hay que tener en cuenta las restricciones que las propias matrices imponen en una ecuación, como la imposibilidad de dividir.

Gracias por las respuestas.

X también es una matriz!

Answer 1

X = AX + D
X - AX = D
(I - A)X = D
X = (I - A)^(-1)D

Si la matriz I - A no es inversible, o sea, si su determinante es 0, entonces el sistema no tiene solución.

Answer 2

Con mucho cuidado

Answer 3

Yo ví álgebra lineal en la universidad en el 2000, pero todavía me acuerdo, creo q es así.
Tienes la expresión X = AX+D, donde todas son matrices. Lo primero que haces es multiplicar por la inversa de X (la llamaré X^-1) @ la derecha, así
X*X^-1 = (AX+D)X^-1, osea
I = A*X*X^-1+D*X^-1, donde I es la matriz identidad, arreglando la expresión, nos queda
I = AI+DX^-1, que podemos reescribir como
D*X^-1 = I - A, de donde, multiplicando por X tambien @ la derecha, nos queda
D*X^-1*X = (I - A)*X, osea
(I - A)*X = D*I, simplificando
(I - A)*X = D, luego, multiplicando por la inversa de I - A @ la izquierda, nos queda
[(I - A)^-1*]*(I - A)*X = [(I - A)^-1*]*D, que nos queda como
I*X = [(I - A)^-1*]*D, osea,
X = [(I - A)^-1*]*D

Answer 4

Pasas el término AX al otro miembro

Te queda X - AX = D

Sacas factor común por la derecha

Te queda (I - A) X = D

Donde I es la identidad del orden que se esta trabajando.

Multiplicas por la inversa de (I -A) por la isquieda y que represento por (I-A)^(-1)

Te queda (I-A)^(-1) (I - A) X = (I-A)^(-1) D

Ya tienes despejada la X

X = (I-A)^(-1) D

Espero que te sirva.


OJO: Alquien por ahi arriba te ha puesto la solución AL REVÉS y ya sabes que el producto de matrices no es conmutativo

Answer 5

Puede que sea una barbaridad lo que voy a poner, pero creo que es así:

A,X y D deben ser matrices cuadradas de igual dimensiones para cumplir esa igualdad, sino el producto AX no podrias restarlo con X. Por lo mismo, D también ha de ser una matriz cuadrada de igual dimensiones que X y A
Entonces

defines f(X)=AX-X+D

Aplicas el algoritmo de Newton Raphson (también se puede aplicar a matrices)

Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)

f'(Xn) es la derivada de f(X) evaluada en Xn, es decir f'(X)=A·X'-X'

X' es la matriz cuyos elementos son los elementos derivados de X

Comienzas a iterar con un Xo evaluas f(X) y f(X') y sacas X , el valor de X lo usas como variable en la siguiente iteración y así sucesivamente, hasta que converja a una solución (si es que converge).
salu2

Answer 6

X=AX+D implica X-AX=D implica X(I-A)=D donde I es la identidad luego X(I-A)(I-A)^(-1) = D(I-A)^(-1) o sea que X =D(I-A)^(-1) para esto, las matrices deben ser cuadradas (es decir de n filas por n columnas) y si I-A (identidad de tamaño n -A) es invertible, entonces tu ecuación tiene solución

Answer 7

Solución

X = D*(1-A)^-1

Es cierto, las matrices no se pueden dividir, pero sí se pueden multiplicar por la matriz recíproca, es decir, aquella que multiplicada por si misma da la matriz unitaria.

Saludos

Answer 8

multiplicas matricialmente A.X y restas X-(A.X) e igualas cada elemento de la matriz resultante al elemento correspondiente de D quedando un sistema de escuaciones.hallas los parametros y ya esta.

***** no es necesario q sean regulares y es mas comodo *****