Encontrar la longitud del lado de un cuadrado DEFG inscrito en un triángulo ABC con el vértice D en el lado AB. El lado EF contenido en el lado BC y con el vértice G en el lado AC (La longitud de los lados del triángulo son: a = 14, c = 13 y b = 15 u)
2006-10-29 04:22:22 · 8 respuestas · pregunta de chiquibeta 1 en Ciencias y matemáticas ➔ Matemáticas
Respuesta: Cada lado del cuadrado debe medir 6,46154
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Como el lado EF del cuadrado está contenido en el lado BC del triángulo, advertimos que quedan definidos dos triángulos rectángulos: EBD y GCF. Aplicaremos:
a) el teorema del coseno para los triángulos en los ángulos B y C; y
b) Pitágoras en los triángulos rectángulos antes referidos.
Nuestra incógnita es EF.
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AC² = AB² + CB² - 2 * AB * CB * cos B, reemplazando valores:
15² = 13² + 14² - 2 * 13 * 14 * cos B ---> cos B = (35 / 91)
Por construcción: cos B = (EB / DB) ---> = (35 / 91) = (EB / DB) ---> DB = (91/35) EB (i)
AB² = BC² + AC² - 2 * BC * AC * cos C, reemplazando valores:
13² = 14² + 15² - 2 * 14 * 15 * cos C ---> cos C = (63 / 105)
Por construcción: cos C = (FC / GC) ---> (63 / 105) = (FC / GC) ---> GC = (105/63) FC (ii)
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Por Pitágoras: DB² = EB² + DE². Como "DE" es un lado del cuadrado (DE = EF), queda: DB² = EB² + EF² (iii)
Reemplazamos (i) en (iii): (91/35)² EB² = EB² + EF² --->
EB = EF / raiz[(91/35)² - 1] (iv)
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Por Pitágoras: GC² = FC² + FG². Como "FG" es un lado del cuadrado (FG = EF), queda: GC² = FC² + EF² (v)
Reemplazamos (ii) en (v): (105/63)² FC² = FC² + EF² --->
FC = EF / raiz[(105/63)² - 1] (vi)
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Por construcción: EB + EF + FC = 14. De (iv) y (vi):
EF / raiz[(91/35)² - 1] + EF + EF / raiz[(105/63)² - 1] = 14 --->
EF { (1 / raiz[(91/35)² - 1]) + 1 + (1 / raiz[(105/63)² - 1]) } = 14
Finalmente, de aquí despejamos el valor de EF.
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2006-10-29 05:37:15 · answer #1 · answered by ElCacho 7 · 1⤊ 0⤋
Hola, Chiquibet
Te comparto esta solución...
Dibuja el triángulo con la información dada. Los vértices son A, B, C. El lado a, corresponde al lado BC; el lado b, corresponde al segmento AC y el lado c corresponde al segmento AB. Este orden debe respetarse porque es convencional.
Con ese esquema, Dibuja dentro del triángulo el cuadrado que te proponen: No olvides que el lado del cuadrado está sobre el segmento BC del triángulo.
Observa lo siguiente:
CB es paralelo con DG, por lo tanto, los triángulos ABC y ADG son proporcionales, es decir sus lados correspondiente son proporcionales...
Plantea entonces esta proporción:
CB es a GD como AB es a AD
Recuerda que GD es el lado ( L ) del cuadrado que buscamos...
BC / GD = AB / AD.......... o lo que es igual...
BC / L = AB / AD.......... Ecuación (1)
De esta ecuación BC = 14 , AB = 13, L es la incógnita y AD debemos hallarlo por algún medio...
Para hallar AD, usamos trigonometría...
De acuerdo con el esquema,
AD = AB - BD.......... Ecuación (2)
Para el triángulo BDF: SenB = DF / BD, por lo cual,
BD = DF / SenB.......... Ecuación (3)
Ya tenemos todo listo para concluir...
Primero debemos hallar el ángulo B, esto es posible utilizando el teorema del Coseno para ABC...
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB*BC*CosB
CosB = [ AB^2 + BC^2 - AC^2 ] / [ 2 * AB * BC ]
CosB = [ 13^2 + 14^2 - 15^2 ] / [ 2 * 13 * 14 ] = 0,3846
B = Arccos 0,3846 = 67,38 grados
Reemplazamos en la ecuación (3), recordando que DF es el lado del cuadrado buscado, L...
BD = L / Sen67,38
Ahora, reemplazamos BD en la ecuación (2)...
AD = AB - BD = 13 - L / 0,9231
Finalmente, reeemplzamos AD en la ecuación (1)..
BC / L = AB / AD
14 / L = 13 / [ 13 - L / 0,9231 ]
Esta última ecuación sólo posee una incógnita, L. Con ella se resuelve el problema...
14 [ 13 - L / 0,9231 ] = 13 L
182 - 15,167 L = 13 L
182 = 13 L + 15,167 L
182 = 28,167 L
L = 182 / 28,167
L = 6,4615 ....... Esta es la Solución !!
Un Abrazo!!
Pereirano Bacano
PereiranoBacano@yahoo.com
2006-10-30 13:21:18 · answer #2 · answered by Pereirano Bacano 5 · 0⤊ 0⤋
y si lo dibujas, nombras cada vertice,planteas un sistema de ecuaciones para cada segmento dado, te auxilias de pitagoras y lo resuelves que tal
2006-10-30 10:52:53 · answer #3 · answered by lourizan 3 · 0⤊ 0⤋
El cuadrado medirá: 6.50
saludos
2006-10-29 12:54:15 · answer #4 · answered by coquitos 1 · 0⤊ 0⤋
La longitud es 6....u
2006-10-29 12:38:53 · answer #5 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
ese cerebro no se va a desarrolar si no haces las tareas tu misma.......(mentira..).... pero al menos intenta hacerlas y no las vengas a poner aca ni bien te las dejan... esfuerzate un poco aunque sea.. veras que luego te sientes mejor...
2006-11-01 20:00:14 · answer #6 · answered by El caballero sin alma ni corazón 6 · 0⤊ 1⤋
para encontrar un cuadrado dentro de un triangulo saka los pentos medio: con la formula:
x= x1 - x2 entre 2
Y= Y1 + Y2 entre dos
2006-10-29 12:35:36 · answer #7 · answered by Mar 2 · 0⤊ 1⤋
Has dejado los deberes del cole para el último momento o qué?
2006-10-29 12:31:12 · answer #8 · answered by Anonymous · 0⤊ 2⤋