Die Länge der Rolle Kunstleder von einem Ende zum anderen, ohne sie abzurollen!?

Question

Leider bin ich kein Mathematiker und stelle somit diese Rechnung als Frage in den Raum: Wie lang ist die Gesamtlänge einer Rolle beigefarbenem Kunstleders, würde man sie von einem Ende zum anderen abrollen, was ich nicht tun kann, weil: 1. keine Lust und 2. kein Platz?

Hier die Maße in Kurzform:

Papprolle
(steckt mittig in der Kunstlederrolle als Stabilitätsfaktor drin):
Außendurchmesser: 55 mm
Innendurchmesser: 50 mm
Länge: 1450 mm

Kunstleder-Bezugsstoffrolle
(um die Papprolle herum):
Länge: 1450 mm
Stoffstärke: 1 mm
Außengesamtdurchmesser: 209 mm

Na dann mal los.
Die einzigste Bedingung für die Lösung ist, dass ich gerne den Lösungsweg wissen möchte, die dafür passende Umrechnungsformel und sollte es eine dafür anschauliche Grafik existieren, möchte ich die auch sehen.
Viel Spaß beim Ausrechnen.
Wahrscheinlich sollte man wenigstens den mittleren Grad eines Akademikers haben, um diese knifflige, mathematische Sache in Angriff nehmen zu können, oder?

Was haben wir als Basis?

Die Rolle ist 145 cm hoch, wenn sie aufrecht steht und 145 cm breit, wenn sie liegt. Würde man die Rolle liegend so sehen, dass man an einem Ende davon steht, könnte man auch von der Länge reden.
Ich gehe mal von der Länge aus, dass klingt komplizierter, grins.
Der Bezugsstoff hat in etwa eine Stärke von 1 mm. Mit diesem Maß lässt sich ebenfalls besser rechnen. Der Gesamtdurchmesser der Rolle beträgt genau 20, 9 cm. Im Gesamten, also mit der durch den Mittelpunkt gehenden Papprolle, um den der eigentliche Bezugsstoff gewickelt ist. Dadurch gibt die Papprolle dem Gesamten nämlich eine gewisse Stabilität und lässt sich per Transport besser handhaben.
Der Außendurchmesser der Papprolle beträgt 5,5 cm, während der Innendurchmesser 5,0 cm ist. 5 mm also halten das Ganze weitestgehend so stabil, dass man sogar bei Bedarf etwas von dem Bezugsstoff abrollen kann, ohne die Rolle im gesamten zu knicken oder zu beschädigen.

So weit, so gut. Wie aber lässt sich aus diesen Angaben die Länge ermitteln, die der Bezugsstoff in der Gesamtlänge hätte, wenn man ihn abrollen würde?

Wäre jeder Meter Stoff (so nenne ich es der Einfachheit halber ab jetzt, was ja eigentlich auch korrekt ihm gegenüber ist, zumindest theoretisch...) in der Lage um die Papprolle jeweils gleich lang, bräuchte man ja nur die Ringe, bzw. Lagen darum zählen und käme auf die Gesamtlänge.
Allerdings besteht der Stoff nicht aus Stücken und es würde selbst im aufgerollten Zustand nicht funktionieren. Es ist EIN Stück Stoff, welches um die Papprolle aufgewickelt ist.
Soweit müsste man sich einer anderen mathematischen Formel widmen, wobei die Frage ist, ob es überhaupt eine dafür gibt. Ich denke: schon, denn so lange es eine Hyperbel oder einen Singular gibt, existiert auch eine Formel.

Answer 1

Grundsätzlich mal, es ist erstaunlich, was hier an Überlegungen zusammen kommt, mittlerer Durchmesser, aus mm werden cm etc. Der wesentliche Zusammenhang ist die Linerität der Längenzunahme beim Abwickeln und diese Längenzunahme in die Funktion für den Umfang einzubinden.

Die Veränderung des Durchmesser entspricht einer linearen Funktion (konstante Steigung), auf 1 Umdrehung der Rolle (2π) nimmt der Radius um genau 1mm zu:

Unter der Voraussetzung, dass die neutrale Faser für die Berechnung den korrekten Wert liefert, beginnt der Lederstreifen bei einem Radius von ½di+0.5mm = ½*55mm+0.5mm = 28mm
Für den Aussendurchmesser bzw. Radius gilt die gleiche Annahme ½da-0.5mm = ½*209mm-0.5mm = 104mm

f(r) = r = 28.0[mm] + ½π[mm]*n

(n = Anzahl der Umdrehungen in 2πn)

104mm = 28mm+n => n = 76 Umdrehungen

Um auf den Durchmesser von 209 zu kommen benötigt man mathematisch 76.0 Umdrehungen.

Der Umfang wächst im Verhältnis proportional zum Radius.

U = f(r) = 2π*f(r) und entspricht für die gestellte Aufgabe der Aufsummation aller Umfänge von 1 bis 76. Dies kann einmal bewerkstelligt werden durch die kontinuierliche Aufsummation oder über Integration der stetigen Funktion

U = 2πΣ (28[mm] + [mm]*n) für n=1 bis n=76

Durch die Verwendung von ganzen Umfängen kürzt sich das 2π aus der Funktion raus.

oder durch Integration

U = 2π⌠28.0+n)dn in den Grenzen von 1 bis 76 für n

U = 2π|28.0+½n²| = 2π[(28.0+½76²)-(28.0+½*1²)]

U = 18142.70 mm

Um die Grenzen mal abzustecken, empfiehlt sich eine einfache Rechnung. Das Ergebnis muss zwischen 76 mal des kleinen Umfangs und etwa 76 mal des halben großen Umfangs liegen:

Uk = 76*2π*r1 = 76*2π*28.0mm = 13370.62mm

Ug = 76*2π*½*r2 = 76*2π*½*104.0mm = 24831.15mm

Answer 2

Du bildest eine Summe der Längen der einzelnen Lagen. Da die Länge jeder Lage durch die Dehnung des Stoffes auf der Oberseite etwas länger ist, als auf der Unterseite, kommt es darauf an, wo du die Länge des Stoffes misst.

Rechnen wir erst einmal die Länge auf der Unterseite:

Die erste Lage hat die Länge pi*55 mm, die 2. Lage die Länge pi*(55+2), die 3. Lage pi*(55+4), die 4. Lage pi*(55+6) usw. bis zur 76. Lage mit der Länge pi*(55+152)=pi*207

Wir bilden also die Summen über pi*(55+i), wobei i nacheinander die Werte von 0 bis 76 annimmt.

Für diese Art von Summen gibt es eine Formel (hat angeblich der junge Gauss in der Grundschule erfunden).

Das ist pi*55*77 + pi*76*77/2
= pi*77*(55+76)
= 31689

Wenn du statt dessen auf der Oberseite des Stoffes misst, bildest du die Summen über pi*(57+i), wobei i nacheinander die Werte von 0 bis 76 annimmt.

Nach der gleichen Formel wie eben ergibt das pi*77*(57+76)
= 32173

Es macht Sinn, statt der Unterseite oder der Oberseite, die Länge der Mitte der einzelnen Lage zu nehmen. Damit lautet die Formel 2*pi*77*(56+76) = 31931

Das alles war gerechnet in mm. Also ist die Gesamtlänge ungefähr 32 m..

Answer 3

Hallo,
also eigentlich ist das gar nicht sooo schwer...

allerdings,
solltest Du nun nicht gaaanz das exakte Ergebnis zu bekommen,
denn schon Deine Aussage dass es ungefähr 1mm stark ist, birgt Risiken der Rechengenauigkeit.

Fangen wir mal an,
Wenn Du auf die Rolle schaust, also so dass Du die Ringe siehst, dann erkennst Du ja verschiedene Kreise... dies hast Du ja schon durch Deine unterschiedlichen Durchmesserangaben erkannt^^

Welche sind nun relevant?
-> der Aussendurchmesser der Papprolle, weil ja erst da das Leder beginnt
-> der Gesamtdurchmesser, weil da das Leder zu Ende ist

Man kann hier durchaus mit den Formeln des Kreises arbeiten, auch wenn es ein Stück Stoff ist.

Nun gilt für den Umfang(u) eines Kreises mit dem Durchmesser(d)
u=pi*d

Da kann man leicht erkenne, dass ein Kreis mit doppelten Durchmesser auch einen doppelten Umfang hat, denn
2*d*pi=2*u
...soviel zur Theorie

Da dies echt Klase ist,
können wir nun ganz einfach einen mittleren Durchmesser des relevanten Lederbezuges ermitteln.
Also Gesamtdurchmesser-Aussendurchmesser der Papprolle
209mm-55mm=154mm
Also,
von der Mitte des Leders auf der Einen Seite des Ringes, bis zur mitte des Leders auf der gegenüberliegenden Seite sollte eine Strecke von 154mm sein (kannst ja mal nachmessen...sicher ist sicher)

Damit,
können wir nun ausrechnen, wieviel Leder auf dieser mittleren Bahn ist
mit u=i*154mm
Ergebnis: 483,8mm (gerundet...Achtung, ergibt wieder ungenauigkeit im Gesamtergebnis)

Da wir nun wissen,
dass die innerste Bahn (im Verhältnis zu der mittleren), genau um das Stück kurzer ist als die äußere zu lang ist, brauchen wir nun nur noch die Länge der mittleren mal der Anzahl der Bahnen multiplizieren.

Wir wissen ja,
dass 154mm Leder drauf haben, also vom Gesamtdurchmesser sind 154mm davon Leder (siehe weiter oben)
Nun ist in diesem Kreis in jedem Ring die Stärke vom Leder zweimal vertreten... also musst Du die 154mm durch 2 teilen
...damit kommst Du dann auf 77 Ringe (kannst ja wieder nachzählen)

Nun brauchen wir nur noch die Ringe mal den mittleren Umfang multiplizieren
77*483,8mm=37352,6mm (wieder gerundet)
oder halt 37m und nen bissl ;)

Wir haben Rundungsfehler (2mal)
ungenaue Angaben (oben, obs exakt 1mm ist)
Meßfehler (sind Deine Angaben wirklich auf 1/10mm genau?)

usw und sofort.

Doch,
ich hoffe dies ist spielt im Verhältnis zum üblichen Verschnitt nicht die Große Rolle und die Angabe reicht Dir so erstmal

Answer 4

Hallo,
das ist wohl eine Thema der arithmetischen Folgen und Reihen.

Also,
der erste Umfang: D1*PI= 55*3,14, der 2. PI*(D1 +(n2-1)*2*1)
S die Dicke,N, die Anzahl der Wicklungen: n= (D1-D2)/ 2*S,
n=(209-55)/2*1 ->alles in mm, wäre 77.
L, die Länge = Pi(n*D1 + 2*S*(n*(n-1)/2))
Also L = 77*55 + 2*1*(77*76/2)
L= 8470 mm =8,470 Meter.
ohne Dehnung des Stoffes :-)

mfg
Nachtrag: Also,
Der Durchmesser des KernsBeträgt 55 mm, der gesammte Rollendurchmesser 2090 mm ( 209 cm) ?
dann wäre die Anzahl der Wicklungen:
n= (D1-D2)/ 2*S,
n=(2090-55)/2*1 ->alles in mm, wäre 1017,5. ok?

L= Pi(n*D1 + 2*S*(n*(n-1)/2))
L= 3,14*(1017,5*55 + 2*1* ((1017,5-1016,5) /2)
L= 3,14*(55962,5 + 51714..) in mm
L=573,10 m

Answer 5

Hallo!

Ausendurchmesser deiner Rolle betragt 55 cm.
Der Gesammtdruchmesser betragt 209cm.
Das heißt die Anzahl der Wicklungen betragt (209-55)/2 = 77
(Das wäre eigentlich erst die länge vom Durchmesser der Rolle bis zum Gesammtdurchmesser, da die Stoffstärke aber genau 1mm betragt entspricht das gleich der Wicklungszahl, ansonsten müsstest du die 77 noch durch die Stoffstärke teilen.
Auf der Rolle befinden sich also 77 Wicklungen.
Das schwierige ist das sich nach jeder Wicklung der Radius um 1. cm erhöht.
Die lange der ersten Wicklung hat den Durchmesser der Rolle und ergibt sich aus. pi * 2r= pi *27,5 = 172,78mm (der Radius ergibt sich aus Druchmesser druch 2 also 55/2=27,5)
Jetzt erhöht sich aber die Wicklung nach jeder Wicklung um einen mm.
Das ergebnis wäre also pi* 2 * (27,5 + 0) + pi* 2 *(27,5 + 1)....pi* 2 *(27,5 + 76)
(76 ist die Anzahl der Wicklungen aber um eins verringert da ja bei meiner Rechnung die Null mitzählt)
Aber dafür müsste man ja ein Tag lang auf dem Taschenrechner rumhämmern. Also muss noch vereinfacht werden.
Man könnte das ausmultiplizieren und kommt auf
2pi * 27,5 + 2pi * 0 + <--Länge erster Wicklung
2pi * 27,5 + 2pi * 1+ <---Länge zweiter Wicklung
usw bis 76
2pi * 27,5 kommt bei jeder Wicklung vor darum kann man da vor einfach die Wicklungszahl als Faktor setzen:
77*(2pi * 27,5) + 2pi * 0 + 2pi *1 .... +2pi *76
Wenn man jetzt mal nur 2pi *0 + 2pi *1 ... + 2pi*76 betrachtet kann man die 2pi ausklammern
also
2pi * (0+1+2+3+4+5+.....76)
Die komplette formel lautet so also:
77*(2pi * 27,5) +2pi * (0+1+2+3+4+5+.....76)

Was ist jetzt aber die Summe aller Zahlen bis 76?
Beispiel bis 9
1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
Die Zahlen die untereinander stehen ergeben immer 10
also ergibt 10+10+10+10+10+10+10+10+10=9*10=90
die 90 ist jetzt auch die Summe beider Ergebnisse 45+45=90
Also um auf die Summe y aller natürlichen Zahlen einer Zahl x zu kommen rechnet man allgemein Y=x * (x+1)/2 das können wir in die obige Formel einstezen also:
77*(2pi * 27,5) +2pi * (0+1+2+3+4+5+.....76)=
77*(2pi * 27,5) +2pi * ( 76*(76+1)/2 )=31516,45mm=31,689m