Tengo que optimizar algunas funciones con el criterio de la primera derivada?

Question

Las funciones son
G(x)= 1/ 1+x^2
φ(x) = 2- √(x+1)^2
En la segunda es una raíz cúbica

Las funciones son
G(x)= 1/ 1+x^2
φ(x) = 2- √(x+1)^2
En la segunda es una raíz cúbica

Es decir, se tiene que obtener el mínimo y el máximo de la función, basándose en el criterio de la primera derivada

Answer 1

A) G( x ) = 1 / (1 + x² ). Entonces: G ' ( x ) = - 2 x / (1 + x² )² (i)
El denominador de (i) es >=1 para todo "x". Por ello, el signo de G ' ( x ) depende de su numerador, siendo:
G ' ( x ) > 0, si x < 0; y (ii)
G ' ( x ) <= 0, si x >= 0 (iii)

Esto implica que en " x = 0" tendremos un máximo de la función de valor:
G( 0 ) = 1.
El denominador de G( x ) es > 0 para todo "x". Además la función es simétrica respecto al eje "y" pues: G( - x ) = G( x ). Finalmente, de (ii) y (iii) sigue que la función tiende a "0" cuando x tiende a "± infinito".

b) H( x ) = 2 - (x + 1)^(2/3). Entonces: H ' ( x ) = -2 / [ 3 (x + 1)^(5/3) ].
El numerador de " H ' ( x )" es < 0 para todo "x". Analicemos ahora su denominador:
Para "x > -1" será: H ' ( x ) < 0; y
para "x < -1" será: H ' ( x ) > 0

Se deduce que en "x = -1" la función tendrá un máximo de valor: H( -1 ) = 2.
Asímismo se vé que la función es simétrica respecto de " -1", esto es:
H( -x - 1) = H( x - 1).
...

Answer 2

G(x)= (1+x al cuadrado) elevado a la (-1)
G`(x) = 2x / (1 + x al cuadrado) elevado al cuadrado. Esta derivada se anula en x=0. Para x menores que cero G`(x) <0 y para x>0, G´(x)>0, por lo tanto por el criterio de la primera derivada hay un mínimo en x=0.
fi(x)= 2- (x+1)elevado a 2/3, entonces fi`(x)= (-2/3) (x+1) elevado a la (-1/3), en x= -1 no existe la primera derivada.
Para x<-1 implica fi´(x)>0 y para x>-1 implica fi´(x)<0, luego implica que en que x=-1 hay un máximo por el criterio de la primera deriivada

Answer 3

Antes de que alguien responda te recomiendo que uses paréntesis para indicar cuál es el denominador en la primera ecuación (aparentemente el denominador es (1+x^2) o también puede ser (1+x)^2). Para la segunda ecuación deberías aclarar si la raíz cúbica afecta o no al cuadrado.

Answer 4

Segun recuerdo tienes que derivar tus funciones, luego tu resultado(derivada) lo factorizas para obtener las raices de la funcion, es decir obtienes los factores y los igualas con 0, de ahi sustituyen las raices es tu funcion principal. Los puntos obtenidos se llaman valores criticos.

Y pues para saber si son maximos o minimos tienes que utilizar la segunda derivada, la sacas y sustituyes tu raices en la segunda derivada , si tu resultado es positivo es un minimo y si es negativo es un maximo.

Bueno este metodo lo use para sacar max y min de funciones mas sencillas de cuaro y tercer grado, la no se si se pueda aplicar en tus funciones pero nada se pierde intentandolo(jeje a ver si le entiendes a los garabatos jeje)
Lastima que no tengo tiempo si no lo intentava

Answer 5

no entiendo, el termino optimizar, mediante el criterio de la primera derivada, debe tener relación con algún planteamiento de problema, una ecuacion, en si misma, no se puede "optimizar" bajo que criterio? que significado tendria?