Parte imaginaria de los números complejos?

Question

Si z es un número complejo, z es distinto de 1 y su módulo es 1. ¿Cómo puedo probar que Im ( i (1 + z) / (1 - z)) = 0 ?

Existe alguna propiedad de los conjugados que se pueda aplicar??

Gracias

Answer 1

La hipótesis de que el módulo de z = 1 pero "z" distinto de "1" impone que "z" sea de la forma:
z = cos Ø + i sen Ø, (con Ø distinto de 2k¶) (i).
z' = cos Ø - i sen Ø, (con Ø distinto de 2k¶) (i) (conjugado de z).

Luego calculamos: i (1 + z) / (1 - z ) = i (1 + z) (1 - z' ) / [ (1 - z ) (1 - z') ] =
= i (1 + z - z' - z z' ) / [ 1 - z - z' + z z' ] (ii)

Siendo:
z - z' = i 2 sen Ø
- z - z' = - 2 cos Ø
z z' = 1, reemplazamos en (ii)

i (1 + z - z' - z z' ) / [ 1 - z - z' + z z' ] = i (1 + i 2 sen Ø - 1) / ( 1 - 2 cos Ø + 1) =
= ( 2 i² sen Ø ) / ( 2 - 2 cos Ø ) = sen Ø / ( cos Ø - 1 ), con Ø distinto de 2k¶.

Y este número es un real puro por lo que su parte imaginaria es igual a cero.
...

Answer 2

Si modulo de z=1,z=e^(ix),x real
(1+e^(ix))/(1-e^(ix))=e^(ix/2)2cos(x/2)/(e^(ix/2)2isen(x/2))=
=(1/i)cotg(x/2),por lo que i((1+e^(ix))/(1-e^(ix))=cotg(x/2).
Este ultimo es un numero real,asi que su parte imaginaria es 0

Answer 3

Observa primero que:
z*(z conjugado)=|z|^2
entonces como |z|=1, z*(z conjugado)=1

Ahora, tomamos
i(1+z)
--------
1-z

Multiplicamos al numerador y denominador por 1+(z conjugado) y nos queda:
i(1+ (z conjugado) +z+z*(z conjugado))
------------------------------------------------
1+(z conjugado) -z - z*(z conjugado)

Pero como z*(z conjugado)=1, entonces te queda:
i(1+ (z conjugado) +z+1)
----------------------------------
1+(z conjugado) -z - 1

Que es igual a:
i(2+ (z conjugado) +z)
----------------------------------
(z conjugado) -z

Ahora suponiendo que tienes z=a+ib, se cumple que:
(z conjugado)+z=a-ib+a+ib=2a
(z conjugado)-z=a-ib-a-ib=-2ib

Entonces te queda:
i(2+2a )
-----------
-2ib

Que es igual a:
a+1
-----
-b

Aqui puedes apreciar que lo que te quedo no tiene parte imaginaria y por lo tanto:
Im(i(1+z)/(1-z))=Im((a+1)/-b)= 0

Espero que te halla servido

Answer 4

|z|^2=z (zconjugado)

z=a+ib,
|z|^2=a^2+b^2=1

Answer 5

i (1+z)
-----------=
(1-z)

i (1+a+bi)(1-a+bi)
--------------------------=
(1-a-bi)(1-a+bi)

i ( 1-a+bi+a-a^2+abi +bi -abi +b^2 i^2)
------------------------------------------------------- =
(1-a)^2 - b^2 i^2

Reduciendo términos y reemplazando i^2 por -1

i . (1+2bi-a^2 - b^2)
------------------------------=
1-2a + a^2 + b^2


Recordemos que el (mod z)^2 = z. conj z = a^2 + b^2 = 1

i . (1 + 2bi - 1)
------------------------=
1-2a + 1

2bi^2
---------------= -2b/ 2 (1-a) = -b / 1-a
2-2a

Este número es real, por lo tanto la parte imaginaria es cero

Answer 6

En realidad no tengo ni idea, pero encontré una base que tal vez te pueda aclarar tu duda:
En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i