¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada?

Question

Pregunto porque yo tengo 2
V=(B+B'+√BxB')*h/3
V=(B+B')*h/2
¿Las dos serán válidas?

Gracias y saludos

PD: Santo, si andás por acá husmeá de vuelta por mi pregunta anterior "la de la pileta", te dejé un mensaje adicional.

Answer 1

Charlie:

Si es verdad! Es un mocazo mío. La fórmula que usé es INCORRECTA. Eso pasa por deducirla en el momento...
Olvidé terriblemente corregir el factor de escala para áreas, ya que este es el cuadrado del factor de escala lineal. De ahí sale el error... O sea, en la respuesta a esa pregunta, yo relaciono áreas con lados indiscriminadamente, y no es así...

La demostración de que la que dice diego es la formula se puede hacer de dos maneras:

A) Análisis (Integrales).
B) La resta que Diego propone.

Yo la hice por Integrales, pero falle en ese detalle que te dije...

NOTA: La notación a continuación corresponde al problema de la pileta, pero levemente modificada, es decir: B' es la base menor, supuesta sin perdida de generalidad como inferior, B la base mayor y H es la altura de la pileta o del tronco de pirámide.

Existe la siguiente proporción:

Area B -> Altura H + H'
Area B' -> Altura H
Area 0 -> Altura 0

Siendo H' la altura de la pirámide chiquita que se forma restando el tronco a la pirámide que lo contiene.

Luego, existe la relación:

(H' / (H + H'))^2 = B' / B (Ojo! Acá es donde yo me morfé elevar al cuadrado el factor de escala lineal!!!!)

H' = (H + H') Sqrt(B' / B)
H' = H Sqrt(BB') / B + H' Sqrt(BB') / B
H' (1 - Sqrt(BB') / B) = H Sqrt(BB') / B
H' = (H Sqrt(BB') / B) / (1 - Sqrt(BB') / B)
H' = (H Sqrt(BB') / B) (B / (B - Sqrt(BB')))

H' = H Sqrt(BB') / (B - Sqrt(BB')

Es difícil escribir tantas razones aquí...

Con esto se demuestra la fórmula, pues el volumen de nuestro tronco es:

V = B(H + H') / 3 - B'H'/3
V = (BH + BH' - B'H') / 3
V = (BH + (B-B')H') / 3

Reemplazando por el valor de H' antes obtenido:

V = (BH + (B - B')H Sqrt(BB') / (B - Sqrt(BB'))) / 3
V = H (B + (B - B') Sqrt(BB' )/ (B - Sqrt(BB'))) / 3

Ahora bien,
(B' + Sqrt(BB')) (B - Sqrt(BB')) = (B - B') Sqrt(BB' )
Luego (B - B') Sqrt(BB' ) / (B - Sqrt(BB')) = B' + Sqrt(BB')

Con lo cual tenemos que:

V = (B + B' + Sqrt(BB')) H / 3

Con lo cual hemos demostrado finalmente la bendita fórmula. :-|

Para la resolución correcta del problema de la pileta:

Expresemos el área A que tendría la base hipotética de una pirámide con una altura X respecto al vértice de la pirámide que contiene al tronco, y contenida en esa misma pirámide.

Altura H' = H Sqrt(BB') / (B - Sqrt(BB')) -> área B'
Altura X -> Área A

Y ahora resulta que:

(X * (B - Sqrt(BB') / H Sqrt(BB')))^2 = A / B'

De donde

A = (X * (B - Sqrt(BB') / H Sqrt(BB')))^2 * B'

Desarrollando el cuadrado:

A = (X^2 (B^2 - 2BSqrt(BB') + BB') / (H^2 BB')) * B'
A = (B' (B^2 - 2BSqrt(BB') + BB') / (H^2 BB')) X^2

Tenemos el área en función de la altura ya mencionada.

Reemplazando esta expresión en la fórmula:
V' = (A + B + Sqrt(AB)) X / 3

Nos queda una ecuación cúbica en X. Desarrollando esa ecuación y resolviendola tendremos el resultado del problema. Ahora bien, resolver ecuaciones cúbicas es difícil: existen métodos exactos, pero en la práctica es mejor usar métodos aproximados: el solver de excel es un ejemplo de método aproximado por computadora.

Como la altura que a nosotros nos interesa es H + H' - X, una vez que tenemos X, como conocemos ya H y H', La altura deseada sale haciendo esta operación.

Bueno, lamentablemente no era tan fácil...

Saludos una vez más. Mucha suerte.

Answer 2

Sólo una es válida y esa es la primera, es decir:

V=(B+B'+√BxB')*h/3

También se puede escirbir de otra manera, restando una pirámide completa a la pirámide que se forma en la punta:

V = B*H/3 - B' *h'/3 = 1/3* (B*H - B' *h')

Pero como puedes ver requieres de más datos, sin embargo a partir de esta puedes obtener la otra (pero me da hueva escribirlo porque tienes que sacar otras fórmulas).

A por cierto la segunda fórmula es para el área de un trapecio.

Answer 3

Como dice Diego esta bien, o sea la primera, siempre y cuando el cuadradito signifique raiz cuadrada.
EN REALIDAD CONTESTO PARA PEDIR DISCULPAS, YA QUE QUISE CALIFICAR COMO BUENA LA RESPUESTA DE DIEGO Y ME EQUIVOQUÉ Y APRETÉ LA MANITO PARA ABAJO, PERDÓN!!!, si alguien sabe como deshacer ese error dígame.

Answer 4

UNa manera de corroborar si son adecuadas las dos, debes de meter las mismas condiciones de frontera y debes obtener el mismo volumen...
De lo contrario te toca buscar en la literatura o en un manual de formulas matematicas,
suerte,
danfel

Answer 5

Aquí si puedo opinar... xq es más básico y mucho q razonar no hay...
Definitivamente la 2da opción pero así:

V=(B+b).h
--------------------
2

Answer 6

es igual a la Base mayor mas la base menor por la altura entre 2, es decir, la segunda, pero yo lo pondría asi: V=(B+b)*h/2